概率论与数理统计-第一章概率论的基本概念.doc

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1、授课章节第一章概率论的基本概念目的要求了解随机试验，掌握随机事件及其概率、全概率公式、独立性。重点难点重点：等可能概型，难点：贝叶斯公式。在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：确定性现象和随机现象。确定性现象：在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象。例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾；边长为a、b的矩形，其面积必为ab等。确定性现象的特征是条件完全决定结果，它们之间的数量关系可以用函数加以描述。随机现象：在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察

2、之前不能预知确切的结果。例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离；投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”和“反面”情况等等。随机现象的特征是条件不能完全决定结果，它们之间的数量关系无法用函数加以描述。随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科。§1随机试验我们遇到过各种试验。但在概率论中的试验是一个含义广泛的术语，它包括各种各样的科学试验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验。下面举一些试验的例子：E1：

3、抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。E2：将一枚硬币抛三次，观察正面、反面出现的情况。E3：将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。E4：掷一枚骰子，观察出现的点数。E5：记录某城市120急救电话台一昼夜接到呼叫的次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。这些试验都具有以下的特点：1、可以在相同的条件下重复地进行；2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3、进行一次试验之前不能确定哪个结果一定出现或一定不出现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随

4、机试验。§2样本空间、随机事件（一）样本空间对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的一切可能的结果是已知的，我们把随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记为。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。例如，上面的7个随机试验的样本空间分别为：E1：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。；E2：将一枚硬币抛三次，观察正面、反面出现的情况。；E3：将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。；E4：掷一枚骰子，观察出现的点数。；E5：记录某城市120急救电话台一昼夜接到呼叫的次数。；E6：在一批灯泡中任意抽取一

5、只，测试它的寿命。；E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。；这里表示最低温度，表示最高温度。并设这一地区的温度不会小于T0，也不会大于T1。（二）随机事件实际上，在进行随机试验时，人们往往关心满足某种条件的那些样本点所组成的子集。例如，若规定某种灯泡的寿命（小时）少于500为次品，即在E5中，我们关心的结果是否发生。显然，是的一个子集。我们就称这样的子集为随机事件。随机事件常用大写字母表示，它是样本空间的子集合。在每次试验中，当且仅当子集中的一个样本点出现时，称事件发生。例如在E4中，如果用表示事件“掷出奇点数”，那么是一个随机

6、事件。由于在一次投掷中，当且仅当掷出的点数是1，3，5中的任何一个时才称事件A发生了，所以我们把事件A表示为。同样地，若用表示事件“掷出偶点数”，那么B也是一个随机事件，。对于一个试验，在每次试验中必然发生的事件，称为的必然事件；在每次试验中都不发生的事件，称为的不可能事件。例如在中，“掷出的点数不超过6”就是必然事件，用集合表示这一事件就是的样本空间.而事件“掷出的点数大于6”是不可能事件，这个事件不包括的任何一个可能结果，所以用空集表示。对于一个试验，它的样本空间是的必然事件；空集是不可能事件。必然事件与不可能事件虽已无随机性可

7、言，但在概率论中，常把它们当作两个特殊的随机事件，这样做是为了数学处理上的方便。（三）事件间的关系与运算因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的。下面给出这些关系和运算在概率中的提法。并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率中的含义。设试验的样本空间为，而是的子集。1°事件的包含与相等事件“若事件A发生必然导致事件B发生”称事件B包含事件A，记为或者。若且，则称事件A与事件B相等，记。2°事件的和事件“与至少有一个发生”称为事件与事件的和，记为。事件发生意味着：或事件发生，或事件发生，或事件与事件都发

8、生。事件的和可以推广到多个事件的情景。设有个事件，定义它们的和事件{中至少有一个发生}为。3°事件的积事件“与都发生”称为事件与事件的积事件，记为，也简记为。事件（或）发生意味着事件发生且事件也发生，即与都发生。类似的，可以定义个事件