2016秋湘教版九年级数学上册：（习题）小专题(八)　比例式或等积式的证明.doc

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1、小专题(八)　比例式或等积式的证明方法1　三点定型法要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形．1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.求证：AB·AE＝AC·AD.2．(滨州中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AB·BC＝AC·BD.3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.方法2　等线段代换法从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形．4．已知：

2、如图，在ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F.求证：AD·AB＝AF·CE.5．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·CE.[来源:学优高考网gkstk]6.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点．求证：BP2＝PE·PF.方法3　等比代换法(找中间比)要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡．7．如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：＝.8．

3、如图，在ABCD的对角线BD上任取一点P，过P点引一直线分别与BA、DC两边的延长线交于E、G，又与BC、AD两边交于F、H，求证：＝.9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E为AC的中点，ED、CB的延长线交于点F.求证：＝.方法4　等积代换法(找中间积)常用到基本图形的结论找中间积．10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·AC.11．(崇明中考)如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AG.求证：＝.[来源:学优高考网gks

4、tk]12．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案1.∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即AB·AE＝AC·AD.　2.∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠C.又∵∠A为公共角，∴△ABC∽△ADB，∴＝，即AB·BC＝AC·BD.　3.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠A＋∠B＝90°，CD＝AD.∴∠A＝∠DCE.[来源:学优高考网]又DF垂直平分AB，∴∠BDF＝90°.∴∠

5、B＋∠F＝90°.∴∠DCE＝∠F.又∠CDE＝∠FDC.∴△CDE∽△FDC.∴＝，即CD2＝DE·DF.　4.在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠E.∴△ADF∽△CED.∴＝.∴＝，即AD·AB＝AF·CE.　5.∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°.∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∠B＋∠BAD＝60°.又∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝60°.∴∠BAD＝∠C.∴△ABD∽△CAE.∴＝.∴＝，即DE2＝BD·CE.　6.连接PC.在△ABC中，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD

6、垂直平分BC.∴PB＝PC.∴∠PBC＝∠PCB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB，即∠ABP＝∠ACP.∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F.∴∠ACP＝∠F.又∵∠EPC＝∠CPF，∴△PCE∽△PFC.∴＝.∵PC＝PB，∴＝，即PB2＝PE·PF.　7.在△ABQ中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.∴DP∶BQ＝AP∶AQ.同理△AEP∽△ACQ，∴PE∶QC＝AP∶AQ.∴DP∶BQ＝PE∶QC.　8.在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD∥BC，∴＝，＝.∴＝.　9.∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠

7、ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴△ACD∽△CBD.∴＝，即＝.又∵E为AC中点，∴AE＝CE＝ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠BDF，∠A＝∠FCD，∴∠FCD＝∠BDF.又∠F为公共角，∴△FDB∽△FCD.∴＝.∴＝.　10.∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.∴∠ADE＋∠BDE＝∠ADE＋∠DAE.∴∠BDE＝∠DAE.∴△ADE∽△ABD.∴＝，即AE·AB＝AD2.同理，△ADF∽△ACD，∴AF·AC＝AD2.∴AE·AB＝AF·AC.　11.∵∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EB