2016数学（陕西省）与圆切线性质有关的证明及计算十九(针对陕西中考第24题).doc

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1、与圆切线性质有关的证明及计算十九(针对陕西中考第24题)　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2015·绥化)如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BD＝OB＝4，求弦AE的长．解：(1)证明：连接OE，∵CD与圆O相切，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠AOC＝∠COE，在△AOC和△EOC中，，∴△AOC≌

2、△EOC(SAS)，∴∠CAO＝∠CEO＝90°，则AC与圆O相切　(2)在Rt△DEO中，BD＝OB，∴BE＝OD＝OB＝4，∵OB＝OE，∴△BOE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∵AB为圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE＝BE·tan60°＝42．(2015·丽水)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．解：(1)连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵

3、AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC　(2)连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，∴S阴影＝4π－83．(2015·赤峰)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB.(1)求证：PB是的切线；(2)若PB＝6，DB＝8，求⊙O的

4、半径．解：(1)证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠OBP＝∠E＝90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线　(2)在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD＝＝10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD－PC＝10－6＝4，在Rt△CDO中，设OC＝r，则有DO＝8－r，根据勾股定理得：(8－r)2＝r2＋42，解得：r＝3，则圆的半径为34．(2015·菏泽)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的

5、切线AF交于点F.(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；(2)若AC＝2，CE∶EB＝1∶4，求CE的长．解：(1)连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠ABD＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠ABD，∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD，∴∠ABC＝2∠CAF　(2)连接AE，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE∶EB＝1∶4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即(2)2＝x2＋(3

6、x)2，∴x＝2，∴CE＝2