四阶抛物方程几类问题研究.pdf

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1、四阶抛物方程几类问题研究Studyofseveralproblemsoffourth-orderparabolicequations沈慧颖大连交通大学DALIANJIAOTONGUNIVERSITY大连交通大学学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢及参考文献的地方外，论文中不包含他人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得大连交通大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。本人完全意识到本声明

2、的法律效力，申请学位论文与资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任。学位论文作者签名：大连交通大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解大连交通大学有关保护知识产权及保留、使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属大连交通大学，本人保证毕业离校后，发表或使用论文工作成杲时署名单位仍然为大连交通大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件及其电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入学校有关数据库和收录到《中国博士学位论文全文数据库》、《中国优秀硕士学位论文全文数据库》进行信息服

3、务，也可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存或汇编本学位论文。(保密的学位论文在解密后应遵守此规定）学位论文作者签名:导师签名：日期：年月日日期：u年6月日分类号：学校代号：10150UDC：密级：学号：20122312硕士学位论文四阶抛物方程几类问题研究Studyofseveralproblemsoffourth-orderparabolicequations学生姓名：沈慧颖导师及职称：梁波副教授学科门类：理学专业名称：基础数学研究方向：偏微分方程申请学位级别：硕士论文答辩日期：学位授予单位：大连交通大学摘要摘要近几年，随着科技不断发展和创新，四阶抛物方程在许多学科

4、领域中的研究越来越深入，应用越来越普遍，因而受到很多学者的关注。比如来源于固体表面微滴扩散的薄膜方程，用于研究相变的Cahn-Hilliard方程以及模拟半导体电荷运载的量子流体动力学方程等。本文首先研究一类Dirichlet边界条件下的四阶退化椭圆方程组muwwVVV0，uV，xxxx其中解u的边值为1，m0，,均为大于0的常数。这是一个带有非线性二阶扩散项的薄膜方程的定态形式，为了研究其解的存在性，方法上，需要构造不动点算子，其可行性利用Lax-Milgram定理验证。再以紧嵌入定理为基础，通过Leray-Schauder不动点定理给出弱

5、解存在性。最后，通过选取合适的检验函数及选取特殊不等式，获得弱解唯一性。其次，研究一类与上述模型相关的四阶退化抛物方程nmuuuuuxx0，txxxxxx其中四阶项的指数可大于1，解u的边值为l，n，，，l均为正常数，m是非负常数。探究解的存在性用到半离散方法。并且当初始泛函趋近与一个正稳态解时，可获得解的唯一性。最后，在半离散问题中采用迭代方法，就能得到当时间趋于无穷大时，解以指数形式收敛于一个正的稳态解。最后，研究非线性扩散作用下四阶退化抛物方程pm2uutuuu0，这里p1，m0。这类方程在相变理论及薄膜润滑理

6、论中出现。研究方法上采用对时间的半离散化，根据椭圆型方程解的存在性，构造逼近解，再对逼近解作半离散迭代估计、能量估计以及紧性讨论，获得相应的抛物方程解的存在性及唯一性。关键词：四阶偏微分方程；退化方程；存在性；唯一性I大连交通大学理学硕士学位论文AbstractInrecentyears,asthedevelopmentandinnovationofscienceandtechnology,theparabolicequationoffourth-orderisstudieddeeplyinalotofsubjectsandfieldsofresearch.Itsap

7、plicationsareeverywhereandmanyscholarshavepaidattentiontothismodel.Forexample,thethinfilmequationisderivedfromthediffusionprocessofdropletonthesolidsurface.Cahn-Hilliardequationisusedtostudythephasetransition.Quantumhydrodynamicsequationcanbeappliedtothesemiconductorquantumflui