复杂网络基础理论第二章.ppt

《复杂网络基础理论第二章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、复杂网络基础理论第二章网络拓扑结构与静态特征第二章网络拓扑结构与静态特征2.1引言2.2网络的基本静态几何特征2.3无向网络的静态特征2.4有向网络的静态特征2.5加权网络的静态特征2.6网络的其他静态特征2.7复杂网络分析软件22.1引言与图论的研究有所不同，复杂网络的研究更侧重于从各种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何量，并用这些一般性质指导更多实际网络的研究，进而通过讨论实际网络上的具体现象发展网络模型的一般方法，最后讨论网络本身的形成机制。统计物理学在模型研究、演化机制与结构稳定性方面的丰富的研究经验是统计物理学在复杂网络研究领域得到广泛应用的原因；而图论与社会网

2、络分析提供的网络静态几何量及其分析方法是复杂网络研究的基础。32.1引言静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观统计平均值。在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结。由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我们将分开讨论无向、有向与加权网络。4返回目录2.2网络的基本静态几何特征2.2.1平均距离2.2.2集聚系数2.2.3度分布2.2.4实际网络的统计特征52.2.1平均距离1.网络的直径与平均距离网络中的两节点vi和vj之间经历边数最少的一条简单路径（经历的边各不相同），称为测地线。测地线的边数dij称为两节点vi和vj之间的距离（或叫测地线距离）。1／dij称为节点

3、vi和vj之间的效率，记为εij。通常效率用来度量节点间的信息传递速度。当vi和vj之间没有路径连通时，dij＝∞，而εij＝0，所以效率更适合度量非全通网络。网络的直径D定义为所有距离dij中的最大值62.2.1平均距离平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离程度，即网络有多小，计算公式为对于无向简单图来说，dij＝dji且dii＝0，则上式可简化为很多实际网络虽然节点数巨大，但平均距离却小得惊人，这就是所谓的小世界效应。72.2.1平均距离2.距离与邻接矩阵的关系定义对于无权简单图来说，当l＝1时，。容易证明无权简单图邻接

4、矩阵A的l次幂Al的元素表示节点vi和vj之间通过l条边连接的路径数。当l＝2时，容易推出式中，U表示单位指示函数，即当x＞0，U（x）＝1；否则U（x）＝0。当i＝j时，δij＝1；否则δij＝0。82.2.1平均距离容易用数学归纳法证明据此，若D为网络直径，则两节点vi和vj之间的距离dij可以表示为92.2.2集聚系数首先来看节点的集聚系数定义。假设节点vi与ki个节点直接连接，那么对于无向网络来说，这ki个节点间可能存在的最大边数为ki（ki－1）／2，而实际存在的边数为Mi，由此我们定义Ci＝2Mi／［ki（ki－1）］为节点vi的集聚系数。对于有向网络来说，这ki

5、个节点间可能存在的最大弧数为ki（ki－1），此时vi的集聚系数Ci＝Mi／［ki（ki－1）］。将该集聚系数对整个网络作平均，可得网络的平均集聚系数为102.2.2集聚系数显然，0≤C≤1。当C＝0，所有节点都是孤立节点，没有边连接。当C＝1时，网络为所有节点两两之间都有边连接的完全图。对于完全随机网络来说，当节点数很大时，C→O（1／N）。而许多大规模的实际网络的集聚系数通常远小于1而大于O（1／N)。对于社会网络来说，通常随着N→∞，集聚系数C→O（1），即趋向一个非零常数。节点vi的集聚系数也可定义为Ci＝NiΔ／NiΛ。式中NiΔ代表与节点vi相连的“三角形”数目，

6、数值上就等于Mi；NiΛ代表与节点vi相连的“三元组”数目，即节点vi与其它两个节点都有连接，即“至少与其他两个分别认识”，数值上就等于ki（ki－1）／2。112.2.2集聚系数如何根据无向无权简单图的邻接矩阵A来求节点vi的集聚系数Ci？显然，邻接矩阵二次幂A2的对角元素表示的是与节点vi相连的边数，也就是节点vi的度ki。而邻接矩阵三次幂A3的对角元素＝∑（aij·ajl·ali）（j≠l）表示的是从节点vi出发经过三条边回到节点vi的路径数，也就是与节点vi相连的三角形数的两倍（正向走和反向走）。因此，由集聚系数的定义可知122.2.2集聚系数【例2.1】计算下面简单

7、网络的直径、平均距离和各节点的集聚系数。解：首先计算出所有节点对的距离：d12＝1；d13＝1；d14＝2；d15＝1；d16＝2；d23＝1；d24＝1；d25＝2；d26＝2；d34＝2；d35＝2；d36＝1；d45＝3；d46＝1；d56＝3。由此可得直径和平均距离为132.2.2集聚系数下面以节点v1的集聚系数计算为例：采用第一种定义可知，节点v1与3个节点直接连接，而这3个节点之间可能存在的最大边数为3（3－1）／2，而实际存在的边数为1，由此可得C1＝2／［3（3－1）］＝1／3。若采用第