《复杂网络的同步》PPT课件

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1、复杂网络的同步许秀竹2010-12-11一、同步现象举例1665年，物理学家惠更斯发现：并排挂在墙上的两个钟摆不管从什么不同的初始位置出发，经过一段时间以后会出现同步摆动的现象。1680年，荷兰旅行家肯普弗在泰国旅行时观察到了一个奇特的现象：停在同一棵树上的萤火虫有时候同时闪光又同时不闪光，很有规律而且在时间上很准确。这两个例子表现的就是现实世界中的同步现象。当一场精彩的戏剧演出结束时，人们的掌声从三三两两，到大家都按着共同的节奏鼓掌。在我们的心脏中，无数的心脏细胞同步震荡着，他们同时做着一个动作，使心瓣膜舒张开，然后又一下

2、子同时停下来，心瓣膜就收缩了。同步在激光系统、超导材料和通信系统等领域中起着重要的作用。有些同步时有害的。如：2000年伦敦千年桥落成，当成千上万的人们开始通过大桥时，共振使大桥开始振动。桥体的S形振动所引起的偏差甚至达到了20cm，使得桥上的人们开始恐慌，大桥不得不临时关闭。Internet上也有一些对网络性能不利的同步想象。如：Internet网上的每个路由器都要周期性地发布路由消息。尽管每个路由器都是自己决定它什么时候发布路由信息，但是研究人员发现不同的路由器最终会以同步的方式发送路由消息，从而引发网络交通阻塞。实际上

3、，在物理学，数学和理论生物等领域，耦合动力学系统中的同步现象已经研究了很多年。（1967年，Winfree开创性的工作）假设每个振子只与它周围有限个振子之间存在着强力作用（忽略振子的振幅变化），这样将同步问题转化成研究相位变化的问题。Kuramoto认为，一个具有有限个恒等振子的耦合系统，无论系统内部各振子间的耦合强度多么微弱，其动力学特性都可由一个简单的相位方程表示。20世纪，工作大多数集中在具有规则拓扑形状的网络结构上，例：耦合映象格子（全耦合或最近邻耦合等）和细胞神经网络等。人们重点研究网络节点的非线性动力学所产生的复

4、杂行为。缺点：没有考虑网络结构复杂性对网络动态行为的影响。然而网络的拓扑结构在决定网络动态特征方面起到很重要的作用。例如，WuCW的结果表明：在一定条件下，足够强的耦合可以导致网络中节点间的同步现象。缺点：无法解释弱耦合情况下，许多复杂网络仍出现较强的同步现象。各种复杂网络共有的小世界和无标度特性的发现，使得人们开始关注网络的拓扑结构与网络同步化行为之间的关系。二、同步的基本概念(精确)同步：两个或多个动力学系统，除了自身的演化外，其间还有相互作用（耦合），这种作用既可以是单向的，也可以是双向的。当满足一定条件时，在耦合的影

5、响下，这些系统的状态输出就会逐渐趋同进而完全相等，称为同步（精确同步）。广义的同步还包括相同步和频率同步等等。复杂系统中的同步主要有两大类：完全同步和广义同步，前者两个相同单元研究得比较多，两个不同单元研究得比较少；后者包括部分同步，如相同步、滞后同步、频率同步等。两个不同单元的同步研究更具挑战性，是今后一个重要研究方向。7三、复杂网络的完全同步判据1.数学描述首先介绍一般连续时间耦合网络的完全同步问题。设连续时间耗散耦合动态网络中有个相同的节点，其中第个节点的状态变量为：单个节点满足的状态方程是：多个节点的耦合动态网络中，

6、的状态方程是：（1）其中：是定义好的函数（通常是非线性的）常数为网络的耦合强度；1节点状态变量之间的内部耦合函数，也称为节点的输出函数，这里假设每个节点的输出函数是相同的。所谓耗散耦合是指耦合矩阵满足耗散耦合条件。当所有的节点状态都相同时，（1）式右端的耦合项自动消失。如果在动态网络（1）中，当时有：（2）则称网络达到完全（渐进）同步。这里，称为网络状态空间中的同步流形。当同步实现后，记其结果为：（3）这里称为同步状态。2.同步的判定对状态方程（1），关于同步状态做线性化，令为第个节点状态向量的变分，则可以得到变分方程：（4

7、）这里，和分别是和关于的Jacobi矩阵，通常要求为无界。令：则上式可以写成矩阵方程：（5）做分解,其中，而是矩阵的特征根且。令，则有：(6)判断同步流形稳定的一个常用判据是要求方程（6）的横截lyapunov指数全为负值。在方程（6）中，只有和与相关，并考虑到外耦合矩阵A为非对称阵时，其特征值可能为复数，故定义主稳定方程为：其最大lyapunov指数是变量和的函数，称为动力网络的主稳定函数。给定一个耦合强度对于每一个固定的在复平面上可以对应地找到固定的一点，该点所对应的正负号反应了该特征模态的稳定性（负时稳定，正时不稳定）

8、。如果与对应的所有特征模态都稳定，那么就认为在该耦合强度下整个网络的同步流形是渐进稳定的。无权无向连通的简单网络的外耦合矩阵A的特征根均为实数，不妨排列为这时其主稳定方程（6）变为并且其对应的主稳定函数是实参数的函数。使得主稳定函数为负的的取值范围称为动态网络（1）的同步化区域，主要由孤立