线性空间ppt课件.ppt

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1、第六章线性空间1§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和2主要内容子空间的交第六节子空间的交与和子空间的和子空间的交与和的性质例题子空间的交与和的维数3一、子空间的交1.定义定义1设V1,V2是线性空间V的两个子空间,称V1∩V2={

2、V1且V2}为V1,V2的交.42.性质定理1如果V1,V2是线性空间V的两个子空间,那么它们的交V1∩V2也是V的子空间.证明首先，由0V1，0V2，可知0

3、V1∩V2，因而V1∩V2是非空的.其次，如果,V1∩V2,即,V1，而且,V2，+V1，+V2，对数量乘积可以同样地证明.所以V1∩V2是V的子空间.证毕那么因此+V1∩V2.53.子空间的交的运算规律1)交换律V1∩V2=V2∩V1；2)结合律(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3).推广多个子空间的交为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为　　　的交空间.6二、子空间的和1.定义定义2设V1,V2是线性空间V的两个子空间,所谓V1与V2的和，是指由所有能表

4、示成1+2，而1V1，2V2的向量组成的子集合，记作V1+V2，即V1+V2={

5、=1+2,1V1,2V2}72.性质定理2如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么它们的和V1+V2也是V的子空间.证明首先，V1+V2显然是非空的.其次如果,V1+V2,即=1+2,1V1,2V2,=1+2,1V1,2V2,那么+=(1+1)+(2+2).8又因为V1,V2是子空间，故有1+1V1，2+2V2.因此+V1+V2.同样

6、，k=k1+k2V1+V2.所以，V1+V2是V的子空间.证毕93.子空间的和的运算规律1)交换律V1+V2=V2+V1；2)结合律(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3).推广多个子空间的和为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为　　　的和空间.101)V的两子空间的并集注意：有证明：112）V的两子空间的并集未必为V的子空间.皆为R3的子空间，但是它们的并集并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭，如但是例如12三、子空间的交与和的性质性质1设V1,V2,W都是子空间，那么由WV1

7、与WV2可推出WV1∩V2；而由WV1与WV2可推出WV1+V2.性质2对于子空间V1,V2,以下三个论断是等价的：1)V1V2；2)V1∩V2=V1；3)V1+V2=V2.13性质3设V1,V2,W都是子空间，W∩V1=W∩V2，若W+V1=W+V2，V1=V2.则V1V2，14四、例题例1设V1=L(1,2),V2=L(1,3)是R3两个不同的2维子空间，求V1∩V2和V1+V2，并指它们的几何意义.解因为V1和V2是两个不同的子空间，所以1,2,3线性无关，从而V1=V2与题

8、设矛盾.于是由子空间的交与和的定义可得V1∩V2=L(1)，V1+V2=L(1,2,3)=R3.否则3可由1,2线性表示15其几何意义是：V1=L(1,2)是向量1,2所确定的平面，的平面，是整个3维空间.如图6-6所示.V2=L(1,3)是向量1,3所确定V1∩V2是这两个平面的交线，V1+V216例2设V1,V2分别是R3过原点的直线和平面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，求V1∩V2和V1+V2，并指它们的几何意义.解由定义容易求得V1∩V2={0}，V1+V2=

9、L(1,2,3)=R3.其几何意义如图6-7所示17例3设V1,V2分别是P3中齐次方程组18的解空间，那么V1∩V2就是齐次方程组的解空间.191）L(1,2,…,s)+L(1,2,…,t)=L(1,…,s,1,…,t)；五、子空间的交与和的维数（维数公式）2）L(1,2,…,s)∩L(1,2,…,t)其中是与中的公共元素，.定理3为线性空间V中两组向量，则20例4、在　中，设1）求的维数的与一组基；2）求的维数的与一组基.21解：1)任取设则有(＊)解得（t为任意数）

10、(＊)即22令t=1，则得的一组基为一维的.2)对以　　　　　为列向量的矩阵A作初等行变换23为3维的，由B知，　　　为　　　　　的一个极大无关组.为其一组基.24关于子空间的交与和的维数，有以下定理.定理4(维数公式)如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2).25证明设V1,V2的维数分别是s,t,V1∩V2的维数是m.取V1∩V2的一