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1、第十一章线性空间与线性映射线性代数有两个“线性”，一是线性空间，二是线性映射。线性代数研究线性空间之间的线性映射的性质。本章包括四节。前两节是关于线性空间的，重点是线性空间、线性空间的基与维数三个概念；后两节是关于线性映射的。其中第三节给出线性映射的概念及其矩阵表示，这使得在第十章中“冒然闯入”的那个“矩形阵列”有了实在的目的。最后一节给出描述线性映射性质的两个重要概念：线性映射的零空间和值域空间。通常，人们认为这章内容比较抽象，其实还是很直观的，因为在二维和三维的情况下，本章的内容都能具体“画出来”。建议读者在学习这章的时候，用二维和三维空间中的具体例子，想
2、象概念的几何形象。11.1线性空间11.2线性空间的基与维数11.3线性映射的矩阵表示11.4线性映射的零空间与值域§11.111.1线性空间11.1.1线性空间的概念在我们的观念中，我们生活于其中的空间，是由点组成的。在空间中取定一点O，见图11.1-1，则空间中的点与位置向量r，建立一一对应关系，这样我们的生活空间可以看作是向量空间(本章中用加粗的字母表示向量)。空间中的向量,可以相加,也可以乘一数。见图11.1-2、图11.1-3。图11.1-1图11.1-3图11.1-2§11.1因而在向量空间中，形如的式子是有意义的，这个式子称为向量a与b的线性组合
3、。人们把加法与数乘叫线性运算。于是人们也把向量空间叫线性空间。ka+lb线性运算具有下述性质：VS1：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+(-a)=0a+0=a§11.1数乘满足下列运算律：VS2：(a+b)=a+b(+)a=a+a1a=a0a=0(左边为数0，右边为向量0)VS是VectorSpace的缩写，VS1可分别读作：向量空间的第一组性质。类似的可说VS2。在整个数学中，这种具有线性运算并且满足VS1、VS2八条运算规律的集合太多了。例如，闭区间[a,b]上的多项式集合，闭区间[a,b]上所有连续函数构成的集合。还有后面
4、遇到的R2，R3，Rn，人们把这样的集合叫向量空间,或线性空间。§11.1定义11.1.1：给定集合V,在其上定义了加法和数乘两种运算,满足VS1、VS2八条运算规律,称V为向量空间或线性空间,其中的元素叫向量。注意，术语“向量空间”和“线性空间”表示一个概念。例11.1.1．对二元有序数组的集合R2按照如下定义的加法和数乘：两向量相加，就是对应分量相加§11.1数乘向量，就是数乘向量的各个分量检验R2按照如上定义的加法和数乘，构成一个向量空间解：记a=，b=，c=，0=，则VS1：①．由a+b=，b+a=即见a+b=b+a②．由a+(b+c)=,(a+b)+
5、c=即见a+(b+c)=(a+b)+c§11.1即见a+0=a即见(a+b)=a+b③．由0+a==a④．由a+(-a)===0VS2：①．由(a+b)=，a+b=即见a+(-a)=0②．由(+)a=，a+a=即见(+)a=a+a§11.1即见1a=a即见0a=0③．由1a==a④．由0a==0可见，二元有序组的集合R2是一向量空间。也许你认为上面的检验过程没有必要，因为这八条运算性质的成立几乎是显然的。我们之所以这样做，是想让你实实在在的体验这一检验的过程，因为检验一个空间是否为线性空间，都要遵循相同的检验过程。§11
6、.1类似地，我们可检验：所有三元有序数组的集合是一线性空间。一般地，所有n元有序数组的集合按照“两向量相加，就是对应分量相加”、“数乘向量，就是数乘向量的各个分量”定义加法与数乘，构成一线性空间。§11.1解：首先，集合C[a,b]上可定义加法和数乘，即Rn是我们今后使用的基本空间，有必要再提醒你，回顾一下这里的加法与数乘是怎么规定的。例11.1.2．检验闭区间[a,b]上，所有连续函数的集合C[a,b]是一线性空间。(其中，C是continuous的第一个字母，符号C[a,b]读作：闭区间[a,b]上所有连续函数的集合)两个连续函数的和，还是连续函数连续函数
7、乘一数，还是连续函数设f,g,hC[a,b](即函数f,g,h是集合C[a,b]的元素)，则VS1：①．f+g=g+f②．(f+g)+h=f+(g+h)③．0+f=f④．f+(-f)=0§11.1可见，闭区间[a,b]上全体函数的集合，也是一个线性空间。你可能会说，此处只是把那八条性质罗列了一遍，而没有给什么“证明”。这是因为这八条性质的成立太显然了，以至于我们不需要再给出什么证明。类似地，你可以检验所有n次多项式的集合是一个线性空间。VS2：①．(f+g)=f+g②．(+)f=f+f③．1f=f④．0f=0所有mn矩阵的集合,按矩阵的加
8、法与数乘,成为一线性空间。应该指出,R
