振动理论机械振动理论作业.doc

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1、1.如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为，质量为，竖直部分杆长为，质量为，细杆可绕直角顶点处的固定轴无摩擦地转动，水平杆的未端与刚度系数为的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置.求杆作微小摆动时的周期.解：依题意，由能量法求系统固有频率.系统动能为，其中水平部分杆的转动惯量为，竖直部分杆的转动惯量为.即以平衡位置为原点，计算系统的势能：竖直部分杆的重力势能为；弹簧与水平部分杆组成的系统是受重力影响的弹性系统.以平衡位置为零势能位置，重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形的弹簧的单独弹性力的势能，故这部分的势能为.当杆做微

2、小摆动时有.因此.所以.由能量守恒定律知，即即当杆作微小摆动时，且.上式整理得，系统固有频率，系统微小摆动周期..2.求如图所示的两种情况下的固有频率.解：⑴如左图所示，悬臂梁与弹簧的受力相同，故而可视为两弹性体的串联.当有集中力作用于悬臂梁的悬空端时，其刚度为，因此整个系统的等效刚度为所以，忽略悬臂梁的质量得，系统固有频率⑵如右图所示，悬臂梁与弹簧的变形相同，故而可视为三弹性体的并联.当有集中力作用于悬臂梁的悬空端时，其刚度为，因此整个系统的等效刚度为.所以，忽略悬臂梁的质量得，系统固有频率3.均质杆，质量为，长为，端刚性连接一质量

3、为的物体，其大小可略去不计.杆在处用铰链连接，并用弹簧刚度系数均为的两弹簧加以约束，如图所示.试求系统自由振动的频率.解：依题意，由能量法求系统固有频率.系统动能为.其中均质杆的转动惯量为，均质杆的转动角速度为；集中质量的线速度为即以平衡位置为原点，计算系统的势能：弹簧与杆组成的系统是受重力影响的弹性系统.以平衡位置为零势能位置，重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形的弹簧的单独弹性力的势能，故势能为由能量守恒定律知，即，整理得，即系统固有频率所以系统自由振动的频率.4.如图所示，质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动

4、，鼓轮绕轴的转动惯量为，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率.解：依题意，由能量法求系统固有频率：系统的势能由两弹簧的弹性势能组成.右侧弹簧的弹性势能为；左侧弹簧的弹性势能为.故系统的势能为系统的动能由小车平移的动能、圆盘平面运动的动能和鼓轮绕轴转动的动能组成.其中，小车平移的动能为；圆盘平面运动的动能为鼓轮绕轴转动的动能为（为鼓轮转动的角速度）.故系统的动能为设位移的变化规律为，则有.因此系统最大势能为;系统最大动能为由能量守恒定律知，.整理得，即系统的固有频率为5.在图示系统中以系统的平衡位置开始算起,盘的中

5、央的位移当作广义坐标.假定盘很薄，并且做纯滚动.求系统的固有频率.解：依题意，由能量法求系统固有频率：系统的势能由两弹簧的弹性势能组成.（此系统是受重力影响的弹性系统.以平衡位置为零势能位置，重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形的弹簧的单独弹性力的势能），故系统的势能为.系统的动能由圆盘平面运动的动能、鼓轮绕轴转动的动能和重物竖直运动的动能组成.其中圆盘平面运动的动能为；鼓轮绕轴转动的动能为；重物竖直运动的动能为.故系统的动能为由能量守恒定律知，即整理得，所以系统的固有频率为.6.建立图示系统运动的微分方程.以作为广义坐

6、标，并假定很小，试求系统的固有频率.解：依题意，与的关系有，，即对支点取矩有，刚杆的转动惯量为：由动量矩定理知，将代入上式整理得，所以系统的运动微分方程为：.其无阻尼固有频率为：.7.求图示系统微幅扭振的周期.两个摩擦轮可分别绕水平点与转动，互相吻合,不能相对滑动，在图示位置（半径与在同一水平线上），弹簧不受力，弹簧系数为与,摩擦轮可看为等厚均质圆盘，质量为与.解：依题意，此系统为单自由度系统，取两摩擦轮的转角为坐标.由能量法求系统固有频率.两摩擦轮互相吻合，不能滑动，所以.重力势能无变化.故系统势能为：两摩擦轮的转动惯量分别为：.所

7、以系统动能为:由能量守恒定律知，即整理得，所以系统固有频率为：.其微幅振动周期为：.8.轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为，轮缘绕有软绳，下端挂有重是的物体，绳与轮缘之间无滑动.在图示位置由水平弹簧维持平衡.半径与都是已知的.求微幅振动的周期.解：依题意，由能量法求固有频率.选取轮子转动的角速度为坐标.此系统是受重力影响的系统，故计算总势能可由平衡位置计算，不计重力势能.系统势能为：重物竖直运动的速度为：，所以系统的动能为：由能量守恒定律知，即整理得，所以系统固有频率为：.其微幅振动周期为：9.求图示两个弹簧在点的等值弹簧系数，刚

8、杆可以在图示平面内绕点偏转.解：依题意，此系统为二自由度系统.取刚杆两端竖直向下的方向为广义坐标，点处竖直向下为.则有.假设在点处有竖直向下的集中载荷，则对点取矩有，；对点取矩有，所以等值弹簧系数为：10.求图示系统的运