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1、第四讲利用全等三角形的证明技巧1三角形全等的基本思路：2(1)（2）（1）如图（1），已知AC=AD，请你添加一个条件，使得△ABC≌△ABD.（2）如图（1），已知∠C=∠D，请你添加一个条件，使得△ABC≌△ABD.（3）如图（1），已知∠CAB=∠DAB，请你添加一个条件，使得△ABC≌△ABD.（4）如图（2），已知∠B=∠C，请你添加一个条件，使得△ABE≌△ACD.例1BC=BD（∠BAC=∠BAD）∠ABC=∠ABD（∠BAC=∠BAD）AC=AD（∠ABC=∠ABD或∠C=∠D）AB=AC（AD=AE或BE=DC）3探究类型二运用全等三角形证明线段相等或直线垂
2、直、平行例2如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F，连接CD,EB.（1）图中还有几对全等三角形？请你一一列举；（2）求证：CF=EF.答案：解：（1）△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE,∴AC=AE,AB=AD,∠CAB=∠EAD,∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB,即∠CAD=∠EAB,∴△ACD≌△AEB(SAS),∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.又∵∠ADE=∠ABC,∴∠CDF=∠EBF.又∵∠DFC=∠BFE,∴△CDF≌△EBF(AAS),∴CF=EF.4探究类
3、型之三加倍折半法证明倍分关系例3课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（）A.SSSB.SASC.AASD.HL（2）求得AD的取值范围是（）A.6＜AD＜8B.6≤AD≤8C.1＜AD＜7D.1≤AD≤7BD5拓展延伸：如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF与EF有何大小关系？答案：解：如图，延长ED到G使DG=ED，连接C
4、G，FG.在△BED和△CGD中，BD=CD，∠BDE=∠CDG，DG=ED，∴△BED≌△CGD，∴CG=BE.∵DE⊥DF，∴∠EDF=∠GDF.在△EFD和△GFD中，FD=FD，∠EDF=∠GDF，ED=DG，∴△EFD≌△GFD，∴EF=FG，在△FCG中，FC+CG＞FG，∴BE+CF＞EF．6探究类型四利用截长补短法解决有关两条线段的和或差的问题例4如图，在△ABC中，∠ABC=60°,AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，且相交于点O.求证：AC=AE+CD.7拓展延伸：如图，在△ABC中，∠B=2∠C,∠BAC的平分线AD交BC于D.求证：AB+BD=AC.
5、8证明：在AC上截取AE=AB,连接DE,如图.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2.在△ABD和△AED中,AB=AE,∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△AED.∴∠B=∠3,BD=DE,又∵∠B=2∠C,∠3=∠4+∠C,∴∠C=∠4.∴DE=CE.∴AC=AE+EC=AB+BD.方法2：9方法3：证明：延长AB至E,使BE=BD，如图.∴AE=AC,即AE=AB+BE=AB+BD.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2又∵∠ABD=2∠C,∠ABD=∠3+∠E,∴∠C=∠E.∴BE=BD.在△AED和△ACD中,∠E=∠C,∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△A
6、CD.10探究类型之五与三角形全等有关的探究型问题例5如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.答案:解：BE=EC，BE⊥EC.理由：∵AC=2AB，点D是AC的中点,∴AB=AD=CD.∵∠EAD=∠EDA=45°,∴∠EAB=∠EDC=135°.又∵EA=ED,∴△EAB≌△EDC,∴∠AEB=∠DEC，EB=EC.∴∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED,∴∠BEC=∠AED=90°,
7、∴BE=EC，BE⊥EC.11课堂总结添加辅助线构造全等的方法：1.在求线段的和差关系时，会采用“截长补短法”；2.倍长中线：（1）已知三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形；（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形.倍长中线造“8”字形，出全等有平行3.遇见角平分线经常做辅助线的方法：12CD13①②④AC=DC71415161721.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.
