牛顿法求非线性方程的根.docx

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1、学科前沿讲座论文班级：工程力学13-1班姓名：陆树飞学号：02130827牛顿法求非线性方程的根一实验目的（1）用牛顿迭代法求解方程的根（2）了解迭代法的原理，了解迭代速度跟什么有关题目：用Newton法计算下列方程（1），初值分别为，，；（2）其三个根分别为。当选择初值时给出结果并分析现象,当，迭代停止。二数学原理对于方程f(x)=0，如果f(x)是线性函数，则它的求根是很容易的。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。设已知方程f(x)=0有近似根xk(假定)，将函数f(x)在点xk进行泰勒展开，有于是方程f(x)=0可近似的表

2、示为这是个线性方程，记其根为xk+1，则xk+1的计算公式为，k=0,1,2,…这就是牛顿迭代法。三程序设计（1）对于，按照上述数学原理，编制的程序如下programnewtonimplicitnonereal::x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x，函数f(x)和一阶导数f1(x)integer::kwrite(*,*)"x(0)="read(*,*)x(0)!输入变量：初始值x(0)open(10,file='1.txt')dok=1,50,1fx(k)=x(k-1)**3-x(k-1)-1f1x(k)=3*x(k-1)**2-1x(k)=x(k-1)-f

3、x(k)/f1x(k)!牛顿法write(*,'(I3,1x,f11.6)')k,x(k)!输出变量：迭代次数k及x的值write(10,'(I3,1x,f11.6)')k,x(k)if(abs(x(k)-x(k-1))<1e-6)exit!终止迭代条件enddostopend（2）对于，按照上述数学原理，编制的程序如下programnewtonimplicitnonereal::x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x，函数f(x)和一阶导数f1(x)integer::kwrite(*,*)"x(0)="read(*,*)x(0)!输入变量：初始值x(0)ope

4、n(10,file='1.txt')dok=1,50,1fx(k)=x(k-1)**3+94*x(k-1)**2-389*x(k-1)+294f1x(k)=3*x(k-1)**2+188*x(k-1)-389x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k)!牛顿法write(*,'(I3,1x,f11.6)')k,x(k)!输出变量：迭代次数k及x的值write(10,'(I3,1x,f11.6)')k,x(k)if(abs(x(k)-x(k-1))<5e-6)exit!终止迭代条件enddostopend四结果分析和讨论（1）对于方程，当初始值初值分别为，，时；所得结果如下分析与讨论：从计

5、算结果可以看出，当取的初始值不同时，虽然均得到了近似解x*=1.324718，但收敛速度明显不同。当初始值x0充分接近于方程的单根时，可保证迭代序列快速收敛。在本例中，初始值1、0.7和0.5距方程的单根越来越远，故收敛速度越来越慢。（2）对于方程，当初始值x0=2时计算结果如下分析与讨论：牛顿法有明显的几何解释，方程f(x)=0的根x*可解释为曲线y=f(x)与x轴的交点的横坐标。设xk是根x*的某个近似值，过曲线y=f(x)上横坐标为xk的点Pk引曲线y=f(x)的切线，并将该切线与x轴的交点坐标xk+1作为x*的新的近似值。本题中，当初始值x0=2时，在这个点的切线方程与x轴的交点恰为

6、方程的一个根x=-98,因此迭代了两次就得到了结果。五完成题目的体会与收获（1）用牛顿法求解方程时，初始值x0越接近于方程的单根，迭代序列收敛速度越快。（2）当方程有不止一个根时，所得结果与初始值的选取有关。