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1、1995年A题飞行管理问题A题一个飞行管理问题在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角.以避免碰撞.现假定条件如下：1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度3）所有飞机飞行速
2、度均为每小时800公里4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上5）最多需考虑6架飞机6）不必考虑飞机离开此区域后的状况.请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型.列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）.要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)记录数据为：飞机编号横座标X纵座标Y方向角（度）1150140243285852363150155220.54145
3、501595130150230新进入0052注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角.试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.参考解答1．问题分析根据题目的条件，可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域，顶点（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160).各架飞机的飞行方向角为飞行方向与x轴正向夹角①（转角）.根据两飞机不碰撞的标准为二者距离大于8km，可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心、以4km为半径的圆状物体（每架飞机在空域中的状态由圆心的位置矢量和飞行速度
4、矢量确定）.这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运行过程中是否相交的问题.两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可.2.模型假设(1)飞机进入区域边缘时,立即作出计算,每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变;(2)每架飞机在整个过程中至多改变一次方向;(3)忽略飞机转向的影响(转弯半径和转弯时间的影响);(4)新飞机进入空域时,已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已调合适,不会碰撞;(5)对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的.3.模型的建立(1)圆状模型.由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究
5、.两圆不相交,则表明不会发生碰撞事故;若两圆相交,则表明会发生碰撞事故.为了研究两飞机相撞问题,采用相对速度作为研究对象,因为飞机是否相撞的关键是相对速度,图10-3给出任意两架飞机间的关系其中符号含义如下:i,j---第i,第j架飞机的圆心;aij---第i架飞机与第j架飞机的碰撞角,是两圆的切线交角中指向圆的那个角的一半,aij=aji;υij---第i架飞机相对于第j架飞机的相对飞行速度;lij---第i架飞机与第j架飞机的圆心距;βij---第i架飞机对于第j架飞机的相对速度与两架飞机圆
6、心连线的交角.规定以第i架飞机为原点,i→j连线从i指向j为正方向,逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角;AB,CD为两圆的公切线,mi//AB,ni//CD.另外再引入记号:θi---第i架飞机的飞行方向与直角坐标xoy中x轴正向的夹角(转角);xi---第i架飞机在坐标xoy中的位置矢量;υi---第i架飞机的飞行速度矢量.由图10-3中的关系得到两飞机不相撞(两圆不相交)的充要条件是
7、βij
8、>aij.当
9、βij
10、≤aij时,则通过调整两飞机的方向角θI,θj,使飞机不相撞.(1)决策目标.
11、题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小,这个尽量小是针对每架飞机而言,同时也要求整体满意程度(即对管理层而言,应使每架飞机的调整都尽量的小).因此构造目标函数时,可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言,其调整量可满意,则由假设(5)对其余飞机调整量均可满意.即要求每架飞机的调整量都小于某个数θ(θ≥0).故可取目标函数为求其最小值minθ.(2)由圆状模型导出的方程.首先讨论相对飞行速度方向角βij的改变量与第i,第j两架飞机飞行方向角改变量Δθi,Δθj的关系.由题目条件知,对第i架飞机
12、υi
13、
14、=800=A(km).于是可用复数表示飞机速度υi=.设第i,j两架飞机飞行方向改变前的速度分别为,改变飞行方向后的速度为,则飞行方向改变前后的相对速度分别为====即与交角相之差为.将其归纳为定理对第i,j架飞机,其相对速度方向βij的改变量Δβij等于两飞机飞行方向角改变量之和的一半.由题目的要求调整飞行方向角时不能超过30°即
15、Δθi
16、≤30,i=1,2,…,6要保证调整飞行方向后飞机不碰撞，应有
17、βij+Δβij
18、>aij由前面构造的目标函数为minθ0≤θ≤30总结以上得如下优化模型
