普通物理学教程力学第八章弹性体的应力和应变课后答案.doc

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1、第八章弹性体的应力和应变习题解答8.1.1一钢杆的截面积为5.0×10-4m2,所受轴向外力如图所示,试计算A、B,B、C和C、D之间的应力。解:EGHF1F2F3F4ABCD根据杆的受力情况,可知杆处于平衡状态。分别在AB之间E处,BC之间G处,CD之间H处作垂直杆的假想截面S。隔离AE段,由平衡条件,E处S面上的内力F=F1,∴A、B之间的应力隔离AG段,由平衡条件,G处S面上的内力F=F2-F1,∴B、C之间压应力隔离HD段,由平衡条件,H处S面上的内力F=F4,∴C、D之间的应力8.1.2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB.若CD杆内的应力不得超过σmax=16×107

2、Pa.问B处最多能悬挂多大重量?解:隔离AB,以A点为轴,由力矩平衡条件,有隔离CD,杆CD应力σ=T/S,∴T=σS=σπ(D/2)2.杆能承受的最大拉力NB处能悬挂的最大重量8.1.3图中上半段为横截面等于4.0×10-4m2。且杨氏模量为6.9×1010Pa的铝制杆,下半段为横截面等于1.0×10-4m2且杨氏模量为19.6×1010Pa的钢杆,又知铝杆内允许最大应力为7.8×107Pa,钢杆内允许最大应力为13.7×107Pa.不计杆的自重,求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。解:设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应力分别为:l1、S1、Y1、σ1,l2、S

3、2、Y2、σ2.,显然,σ1=F/S1,σ2=F/S2.设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为F1max,F2max,则整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷:根据拉伸形变的胡克定律,对于铝杆,所以,;对于钢杆,同样有.整个杆的伸长量是:8.1.4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为500kg。最大负载极限5.5kN。每根钢索都能独立承担总负载,且其应力仅为允许应力的70%,若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索直径为多少?将钢索看作圆柱体,且不计其自重,取钢的允许应力为6.0×108Pa.TTT解:设每根钢索承受拉力为T,电梯自重为W=mg,负荷为W'=m'g.由牛顿第二定律,设钢

4、索直径为D,每根钢索的应力8.1.5⑴矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε,此材料的泊松系数为μ,求证杆体积的相对改变为(V-V0)/V0=ε(1-2μ),V0表示原体即,V表示形变后体积.⑵上式是否适用于压缩?⑶低碳钢杨氏模量为Y=19.6×1010Pa,泊松系数μ=0.3,受到的拉应力为σ=1.37Pa,求杆件体积的相对改变。解:⑴设杆原长为l0,矩形截面两边原长分别为a0和b0,据线应变定义:轴向应变,横向应变,所以:,由泊松系数定义,拉伸时,ε>0,ε1<0,∴ε1=-με⑵对于压缩,ε<0,ε1>0,仍有ε1=-με成立,因此上式对压缩情况仍然适用⑶据胡克定律8.1.6⑴杆

5、受轴向拉力F,其横截面为S,材料的重度(单位体积物质的重量)为γ,试证明考虑材料的重量时,横截面内的应力为。⑵杆内应力如上式,试证明杆的总伸长量证明:⑴建立图示坐标o-x,在坐标x处取一截面S,隔离o、x段杆,由平衡条件,截面S上的内力F’=F+γSx,据应力定义⑵考虑x处的线元dx,该线元在重力作用下的绝对伸长为dl,据胡克定律,积分:8.2.1在剪切材料时,由于刀口不快,没有切断,该钢板发生了切变。钢板的横截面积为S=90cm2.两刀口间的垂直距离为d=0.5cm.当剪切力为F=7×105N时,求:⑴钢板中的切应力,⑵钢板的切应变,⑶与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切

6、模量N=8×1010Pa。解:⑴据切应力定义⑵据胡克定律,⑶8.3.1一铝管直径为4cm,壁厚1mm,长10m,一端固定,而另一端作用一力矩50Nm,求铝管的扭转角θ;对同样尺寸的钢管再计算一遍,已知铝的剪切模量N=2.63×1010Pa,钢的剪切模量为8.0×1010Paψθ解:设管的半径为R,管壁厚d,管长为l,外力矩为M,由于d<

7、为2d,宽为3d,据梁纯弯曲的曲率公式:以2d为梁的高:以3d为梁的高:8.3.3某梁发生纯弯曲,梁长度为L,宽度为b,厚度为h,弯曲后曲率半径为R,材料杨氏模量为Y,求总形变势能。解:建立图示坐标o-x,原点o在中性层。梁的弯曲是由不同程度的拉伸压缩形变组成。在坐标x处,取一体元dv=bLdx,其应变其形变势能密度其形变势能.在整个梁中积分,即得到整个梁的形变势能

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