三角形中相关角度的计算规律及应用.doc

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1、一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用BAOC12例1例1:在△ABC中,BO与CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且相交于点O,探究∠O与∠A是否有关系?若有关系,试分析有怎样的关系?研究分析:∠O=180°-(∠1+∠2)而∠1+∠2=(180°-∠A)=90°-∠A∴∠O=180°-(90°-∠A)=90°+∠A由例1总结出规律:三角形的两个内角平分线交于一点,所形成角的度数等于90°加上第三角的一半,即为∠O=90°+∠A。例2:已知如图:在△ABC中,BO、CO分别平分∠CBE和∠BCF,且交于点O,则∠O与例221ABOECF∠A的关系又如何呢

2、?分析:∠O=180°-(∠1+∠2)而∠1+∠2=(180°+∠A)∴∠O=180°-[(180°+∠A)]=180°-90°-∠A=90°-∠A由例2总结出规律:三角形的两个外角平分线交于一点,所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。即为∠O=90°-∠A。例3:已知如图:PB与PC分别为内角∠ABC和外角∠ACD的平分线,且交于点P,探究:∠A与∠P的关系。例3CPBAD12分析:∠P=∠2-∠1,∠2=(∠A+∠ABC)∠1=(180°-∠A-∠BCA)∴∠P=(∠A+∠ABC)-(180°-∠A-∠BCA)=∠A+∠ABC-90°+∠A+∠BCA=

3、∠A-90°-(180°-∠A)=∠A由例3总结出规律:三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点,所形成角的度数等于第三角的一半。即为∠P=∠A。规律的应用31、如图,在△ABC中,外角∠CAE和∠ACD的平分线AP与CP交于点P,且∠B=57°,则∠APC=。2、如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线相交于点E,且∠A=110°,求∠E=。3、如图:在△ABC中,∠A=90°,∠B=32°,OA、OB、OC分别平分∠A、∠B、∠C,则∠AOB=,∠BOC=,∠COA=。4、在△ABC中,OA、OC分别平分∠A、∠C,且∠AOC=116°,则∠B=。5、

4、如图,BP、CP分别是∠ABC和∠ACD的平分线,∠A=62°,则∠P=。6、在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分线交于点P1,得∠P1,∠P1BC与∠P1CD的平分线P2,得∠P2……,∠P2013BC和∠P2013CD的平分线交于P2014,∠P2014=度。7、如图所示,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=。D(第5题)CPBAD二、三角形内角和、角平分线与高线规律发现及应用例1:如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,交BC于点E,且∠C>∠B,求证∠DAE=

5、(∠C-∠B)分析引导:∠DAE=∠BAC-∠BAE-∠CAD而∠BAE=∠BAC,∠CAD=90°-∠C∴∠DAE=∠BAC-∠BAC-(90°-∠C)=∠BAC+∠C-90°=(180°-∠B-∠C)+∠C-90°=90°-∠B-∠C+∠C-90°=(∠C-∠B)由例1总结出规律:三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角的差的一半。规律的应用(1)如图所示,AD、AE分别为△ABC的高和角平分线,且∠B=35°,∠C=45°,则∠DAE=。(2)如图所示,AD和AE分别是△ABC的高和角平分线,且3∠DAE=12°,∠B=62°,则∠A=,∠A

6、CB=。(3)在Rt△ABC中,CD和CE分别是高和角平分线,∠DCE=15°,则△ABC三边的比为。(4)已知如图,在△ABC中,AE平分∠BAC(∠C>∠B),F为AE上任意一点(A、E除外),且FD⊥BC于D,求证:∠DFE=(∠C-∠B)在教学中通过对基本内容的讲解和分析、综合,找出其中的内在联系,并配以适当的作业练习,使学生对所学知识熟练化、系统化、规律化,使学生对知识强化的同时,也开发了学生的智力。3

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