不等式证明例题讲解.doc

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1、不等式证明例题讲解例1．已知a，b∈R，求证a2+b2≥ab+a+b－1．证明：∵(a2+b2)－(ab+a+b－1)，∴a2+b2≥ab+a+b－1，当且仅当a=b=1时等号成立．评述这是一个用求差比较法证明的不等式，对差式的变形是拆项和配方，以利用实数的性质：a2≥0．此不等式的证明还可采用函数的方法：设f(a)=(a2+b2)－(ab+a+b－1)=a2－(b+1)a+b2－b+1，这是一个a的二次函数式，由于二次项系数大于0，且=(b+1)2－4(b2－b+1)=－3(b－1)2≤0，故f(

2、a)≥0对一切a∈R恒成立．例2．已知a，b为不相等的正数，求证：．分析由于a，b为不等正数，所证不等式中各式都是幂与积的结构，可选用求商比较法．证明：a，b为不等正数，不失一般性，设a>b>0．∵a>b>0．∴，．由指数函数性质可知，故．同理．故．综上可得．例3．已知a，b，c∈R+，求证：分析直接作差，再通分变形，所得分式很繁，使判定差式符号十分困难．为此将含三个字母的差式作分项变形，以使每一差式只含两个字母，就会使判定差式符号变得容易．证明：∵a，b，c∈R+，∴．同理，．三式相加，可得：，即

3、评述采用比较法证明不等式时，对差式或商式的变形至关重要．例4．已知a，b，c∈R，求证：．分析：此不等式的左边是关于a，b，c的三个根式，而右边是关于a，b，c的整式，采用恒等变换难以化简各个根式．为此应选用适当的放缩变换．使各根式的被开方式化为完全平方式．就有可能通过化简根式证明不等式．证明：∵a2+b2≥2ab，∴2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)22即．两边开方，得，同理可得，．三式相加，得．评述此不等式的证明采用的是综合法，在由因导果的推理过程中，选用了合理的放缩变换，而这一变

4、换是在分析了不等式两边的差异后寻求到的．例5．已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，求证：．分析条件与结论有次数上的差异，升次或降次可拉近两者的距离．条件与结论均含三个字母，利用等式x+y+z=1可实施等量代换，以取得消元的效果．证法一：∵x+y+z=1．∴(x+y+z)2=1．．证法二：由x+y+z=1得z=1－x－y，因此．评述这是一个条件不等式的证明问题，抓住条件与结论的特征和差异，就能设计出有效的变形策略．由于结论中不等式的左边是二次齐次式．实施配方是很自然的．例6．已知a，b，c是不等正数

5、，且abc=1，求证：．分析所证不等式的两边有根式与分式的差异，在题设的abc=1的条件下，或将左式变形为，或将左式变形为bc+ca+ab，都有可能拉近左、右两式的距离，找到进行不等式变换的途径．证法一：∵a，b，c是不等正数，且abc=1，∴．证法二：∵a，b，c是不等正数，且abc=1．∴=bc+ca+ab=．评述例4—例6都是采用综合法由因导果证明不等式，为能有效地揭示条件与结论之间的因果关系，需要着力分析已知与求证之间的差异和联系，不等式两边之间的差异和联系．在此基础上实施有效的等式变换与不

6、等式变换．例7．已知a，b∈R+，且a+b=1，求证：3a+3b<4．分析此题中已知条件的结构简单，而求证的不等式结构复杂，利用a+b=1消元，将结论化为一元不等式后逐步化简，寻求使其成立的充分条件．证明：由于a+b=1，a，b∈R+．3a+3b<43a+31-a<4(3a－1)(3a－3)<01<3a<300，求证：证明：由于a+b>0，a2+1>0，b2+1>0(a+b)2≤(a2+1)

7、(b2+1)a2+2ab+b2≤a2b2+a2+b2+1a2b2－2ab+1≥0(ab－1)2≥0不等式(ab－1)2≥0一定成立，故成立．例9．设函数f(x)=tanx，．已知x1，x2∈，且x1≠x2，求证．证明(*)由于x1，x2，且x1≠x2，可知x1+x2∈(0，π)，，且x1－x2≠0，因此：sin(x1+x2)>0，0

8、需证明的不等式出发，逐步寻求使其成立的充分条件的过程，同时具有简化结论的作用，用分析法比较适宜．例9中的“切”化“弦”就是一种简化．例10．已知a，b，c∈R，且a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证a，b，c全是正数．分析此题的已知条件结构比较复杂（分别是a，b，c的和、两两乘积之和，以及积均为正数），而结论只是a，b，c的符号．求证的结论及对结论的否定的结构都比较简单，因此可从对结论的否定的假设出发进行推理，并推出矛盾，从而推证结论成立，即采用反证