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1、2018年高考圆锥曲线大题 一.解答题(共13小题)1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:
2、
3、,
4、
5、,
6、
7、成等差数列,并求该数列的公差.2.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:2
8、
9、=
10、
11、+
12、
13、.第22页(共22页)3.双曲线﹣=1,F1、F2为其左右焦点,C是以F2为
14、圆心且过原点的圆.(1)求C的轨迹方程;(2)动点P在C上运动,M满足=2,求M的轨迹方程.4.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.第22页(共22页)5.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)若k=1,求
15、AB
16、的最大值;(Ⅲ)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆
17、M的另一个交点为D.若C,D和点Q(﹣,)共线,求k.6.设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,
18、FQ
19、=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.第22页(共22页)7.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1
20、,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.8.设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,
21、AB
22、=.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,1与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点
23、,
24、AB
25、=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.第22页(共22页)10.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且
26、FB
27、•
28、AB
29、=6.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.11.已知椭圆C:,直线l:y=kx+1(k≠0)与椭圆C相交于A,B两点,D为AB的中点.(1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为,求椭圆..
30、的方程;(2)在(1)的条件下,y轴上是否存在定点M使得当k变化时,总有∠AMO=∠BMO(O为坐标原点).若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.第22页(共22页)12.已知椭圆Γ:的离心率为,椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4.(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;(Ⅱ)直线l与椭圆Γ交于A,B两点,AB的中点M在圆x2+y2=1上,求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.13.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,两条准线之间的距离为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的左顶点为A
31、,点M在圆x2+y2=上,直线AM与椭圆相交于另一点B,且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍,求直线AB的方程. 第22页(共22页)2018年高考圆锥曲线大题参考答案与试题解析 一.解答题(共13小题)1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:
32、
33、,
34、
35、,
36、
37、成等差数列,并求该数列的公差.【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),∵线段AB的中点为M(1,m),∴x1+x2=2,y1
38、+y2=2m将A,B代入椭圆C:+=1中,可得,两式相减可得,3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0,即6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0,∴k==﹣=﹣点M(1,m)在椭圆内,即,解得0<m∴.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2
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