高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数.ppt

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1、第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－

2、a;规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;记作二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此定理1设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝

3、a,“”则已知b＝a,b＝0a,b同向a∥ba,b反向横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的基本概念Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ坐标面坐标原点坐标轴卦限(八个)空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点2.向量的坐标表示设点M则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,在空间直角坐标系下,任意向量r，都可以找到一点M，使得r=OM，称其为点M关于原点O的向径。四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:

4、五、向量的模、方向角1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作方向余弦的性质:例1已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量作业P13习题8-11，4，5，15第二节数量积向量积启示:实例两向量作这样的运算,结果是一个数量定义一、两向量的数量积记作故1、关于数量积的说明证证

5、2、数量积符合下列运算规律：(1)交换律：(2)分配律：(3)若为常数：若、为常数：设3、数量积的坐标表达式由此得两向量夹角余弦的坐标表示式可知两向量垂直的充要条件为解证：因为所以实例二、两向量的向量积定义向量积也称为“叉积”、“外积”。1、关于向量积的说明：//证////2、向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：设3、向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式//由上式可推出：补充解作业P23习题8-21(1)、(3)，3，4，9第三节平面及其方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做

6、该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有一、平面的点法式方程平面的点法式方程平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程．其中法向量已知点解取所求平面方程为化简得取法向量化简得所求平面方程为解由平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.平面一般方程的几种特殊情况：设平面为由平面过原点知所求平面方程为解设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程得平

7、面的截距式方程设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面的特殊位置关系：////例4研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角两平面平行两平面平行但不重合．两平面平行两平面重合.解点到平面距离公式1.平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）2.两平面的夹角.3.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面

8、的位置特征）四、小结作业P29习题8-34做书上1，3，5，6，9第四节空间直线及其方程定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程令直线的一组方向数方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标因所求直线与两平面的