排列组合、概率与立体几何问题的交汇.doc

《排列组合、概率与立体几何问题的交汇.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、排列组合、概率与立体几何问题的交汇近年来，排列、组合、概率与立体几何的综合问题以其综合性强，思维能力要求高，常作为客观题的压轴题出现在各种类型的考试中。1．对于一些共面问题的讨论通常要用分类讨论的思想解决。例1：不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个AEBFGDMHC解析：事实上，平面可以分为两类：一类是在平面的两侧各有两个点；另一类是在平面的两侧分别有一个点和三个点。如右图，设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面满足题意。这样的

2、平面有四个；又过E、F、H、M的平面也满足题意，这样的平面有三个。故适合题设的平面共有7个，应选D。点评：解决问题的方法一定要找出讨论的标准：（1）三点与另外一点到一个面的距离相等，有4个；（2）两点与另外两点到平面的距离相等，有3个。PCDBA例2：在四棱锥P—ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有（）种。A．40B．48C．56D．62解析：如右图，满足题设的取法可分为三类：（1）在四棱锥的每个侧面上除P点外任取3点，有4×=40种取法；（2）在两个对角面上除点P

3、外任取3点，共有2×=8种不同取法；（3）过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有4×=8种不同的取法。故不同的取法共有40+8+8=56种。点评：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类不重复，也不遗漏，其中在本题2中，因为经过一条直线和直线外一点有且仅有一个平面，学生最容易漏掉的是第（3）类，最易重复的也是第（3）类。ABCA1B1C1例3：过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对解析1：如右图，三棱柱ABC—A1B1C1的

4、六个顶点可组成－3=12个三棱锥，每个三棱锥有3对异面直线，故一共有12×3=36对异面直线。解析2：把过三棱柱任意两个顶点的直线分为三类：底面棱、侧面棱、侧面对角线，其中（1）同类中异面的对数分别为：底面棱与底面棱有2×3=6对，三条侧面棱是平行直线，不异面，侧面对角线与侧面对角线有2×6×=6对。5（2）每两类之间异面的对数分别为：底面棱与侧面棱有1×6=6对，底面棱与侧面对角线有2×6=12对，侧面棱与侧面对角线有2×3=6对。故共有36对，选D。许多学生面对此题生猜乱算，缺乏头绪，缺乏分类讨论的思想。点评：本题充分

5、运用“三棱锥有3对异面直线”这个数学模型，将三棱柱异面直线的对数分成12个三棱锥异面直线的对数，这种利用简单熟悉的数学模型解决复杂数学问题是一种重要的解决几何问题的方法。例4：四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库存放是安全的，现有编号①②③④的四个仓库存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为（）A．96B．48C．24D．0解析：如图，分别用1～8标号的棱表示8种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下：（

6、实质就是异面直线配对）55671234875641238678故8种产品安全存放有“（1,5）、（2,6）、（3,7）、（4,8）”和“（1,8）、（2,5）、（3,6）、（4,7）”两种可能，故所求的方法种数2=48（种），故选B。点评：这道实际应用题用四棱锥的8条棱的关系来研究化工产品的存放种数，体现了数学建模的思想，学生在解决问题时，ABDCA′B′C′D′首先要通过阅读，理解题目所传递的信息，然后将问题转化为四棱锥的8条棱之间的排列组合情况，这体现了对数学思维能力较高的考查要求。从几何模型上分析，关键在于把四棱锥的

7、八条棱分成四对异面直线。例5：以平行六面体的任意三个顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率P为（）A．B．C．D．解析：此问题可分解成五个小问题：（1）由平行六面体的八个顶点可以组成多少个三角形？可组成=56个三角形。（2）平行六面体的八个顶点中四点共面的情形共有多少种？  平行六面体的六个面加上六个对角面共12个平面（3）在上述12个平面内的每个四边形中共面的三角形有几个？有（个）（4）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率P等于多少？显然，P=（5）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率

8、P等于多少？利用求对立事件概率的公式得P=1－，故选A。5点评：这是一道以立体几何熟知内容为载体，构思巧妙，综合考查立几、排列组合、概率等基础知识，深入考查学生的数学思维能力的上乘之作。本题的得分率较低，学生的主要失误表现在以下几方面：1．面对一个复杂的问题，茫然不知所措，缺乏明确的解题目标意识，无法确