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1、折叠问题在平面直角坐标系中的应用例谈（初三）这是正在悄然兴起的一个中考热点.因为在直角坐标系中，几何图形的位置和大小都可以用“数”来表示，折叠问题又涉及全等变换和轴对称问题．下面，我们通过2005年中考题来研究平面直角坐标系下的折叠问题：例1（2005·大连）如图１，把矩形OABC放置在直角坐标系中，OA＝6，OC＝8，若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF．（1）可以通过________办法，使四边形AEFO变到四边形BEFC的位置（填“平移”、“旋转”或“翻转”）；ABCOEFxy图1（2）求点E的坐标；（3）若直线l把矩形OABC的面积分成相等的两部分，则直
2、线l必经过点的坐标是______.思路探求:（1）分析题意可知，矩形是中心对称图形，而本题的折痕与对角线交点应是矩形对称中心，所以可以通过旋转的办法．（2）连结OE，OE=BE，解Rt△AOE即可．(3)由第(1)小题分析可知,对称中心应为折痕与对角线交点,过此点引两坐标轴垂线段,由三角形中位线性质可求出对称中心坐标.答案:(1)旋转;(2)E(6,);(3)(3,4).例2（2005·日照）如图2，△OAB是边长为4+2的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正半轴上.将△OAB折叠，使点A与OB边上的点P重合，折痕与OA、AB的交点分别是E、F．如果PE∥x
3、轴,（1）求点P、E的坐标；（2）如果抛物线经过点P、E，求抛物线的解析式．图2思路探求:（1）由于题设可知△POE为直角三角形,且∠POE=600,于是可设PO=m,则由对称性质可知,.所以可求出m=2.于是可求出点P、E的坐标.(2)把点P、E的坐标代入抛物线解析式即可求出b,c.答案:（1）点P（0，2）、E（）的坐标（2）图3-1例3（2005·苏州）如图3-1，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为，C点坐标为．D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将沿OD翻折，得到；再在AB边上选取适当的点E，将沿DE翻折，得到，并使直线DG
4、、DF重合．（1）如图3-2，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设，，求关于的函数关系式，并求的最小值；图3-2（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图3-2的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点．思路探求:(1)当点F落在OA边上时,四边形OFDC应为正方形,故D(6,6),此时边形DGEB也为正方形,BE=BD=4,故E(10,2).可出求直线DE的函数关系式.(2)经过分析,发现△OCD∽△DBE,可写出比例式,可得,即可得最小值.(3)可根据特殊位置关系猜想直线DE与抛
5、物线的公共点的个数,并进行验证.答案:（1）y=-x+12．（2）关于的函数关系式:,当a=5时，b最小值=（3）猜想：直线DE与抛物线证明：由（1）可知，DE所在直线为y=-x+12．代入抛物线，得化简得x2-24x+144=0，所以△=0．所以直线DE与抛物线作法一：延长OF交DE于点H．作法二：在DB上取点M，使DM=CD，过M作MH⊥BC，交DE于点H．例４（2005·南通）在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m（－≤k≤）经过点A（2，4），且与y轴相交于点C．点B在y轴上，O为坐标原点，且OB＝OA＋7－2．记△ABC的面积为S．（1）求m的取值范围；（2）
6、求S关于m的函数关系式；（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到△AB′C，求点B′的坐标．思路探求:(1)由于直线y=kx＋m（≤k≤）经过点A（2，4），∴×2k＋m=4，∴k=1－m．∵－≤k≤，∴－≤1－m≤．即可解出.(2)由A点的坐标是（2，4），∴OA=2．又∵OB=OA＋7－2，∴OB=7．∴B点的坐标为（0，7），或（0，－7）．分两种情况进行讨论.(3)当m=2时，一次函数S=－m＋7取得最大值5，这时C（0，2）．画出图形,进行分析,解Rt△B′CE即可.答案:（1）解得2≤m≤6．（2）直线y=kx＋m与y轴的交
7、点为C（0，m）．①当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7－m．∴S=·2·BC=（7－m）．②当点B的坐标是（0，－7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7＋m．∴S=·2·BC=（7＋m）．（3）如图4，分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．yA（，4）B（0，7）C（0，2）OxB′(图4）DE则AD=2，CD=4－2=2．在Rt△ACD中，tan∠ACD==，∴∠ACD=60°．由题意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7－2=5，∴∠B′CE=180°－∠B′CB=60°．
