立体几何中向量法与传统方法的比较研究.doc

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1、立体几何中向量法与传统方法的比较研究德化一中　徐高挺在向量被引入中学数学教材以前，立体几何空间图形的抽象性让大多数学生望而生畏．传统教材中，几何元素的位置关系的确定必须通过严密的逻辑证明来完成的，角和距离的求解也因为其解证的烦琐而让人感到困难重重．向量的引入在很大程度上改变了这种状况．它既反映现实世界的数量关系，又体现几何图形的位置关系，具有代数形式和几何形式的“双重性”，它将数和形有机地结合起来，为立体几何解题提供了新的工具，其主要思想是合理地构造向量,充分利用向量的基本性质、基本运算,特别是利用向量共线、垂直解决立体几何中位置关系的证明，利用数量积公式解决空间角及利用距离公式

2、解决空间距离问题。向量思想开拓了从另一个角度探究立体几何中各几何量之间联系的新途径，把传统方法和向量方法两者并举，为更快更好地解决立体几何问题提供了新思路．本文并不想在向量方法和传统方法中厚此薄彼，主要用意是通过对两者的比较研究，寻求立体几何解题方法的最优化，进而形成了融合向量知识与传统知识的创新思维，为学生研究立体几何开拓了新的领域．一、在位置关系证明方面的比较平行和垂直是空间中两种重要的位置关系．对于平行和垂直的论证，传统方法是通过严密的逻辑推理来完成的，而向量法则是通过求解来完成的．它在证明中通常用到以下的结论：设直线m、n的方向向量分别是a、b，平面α的法向量为n1,平面

3、β的法向量为n2⑴m∥na、b是共线向量a=λb(λ是唯一确定的非零常数)；⑵m⊥na⊥bab=0；⑶m⊥αa∥n1,即a=λn1；⑷若m在平面α外，则m∥αa⊥n1,即a·n1=0；⑸α∥βn1∥n2,即n1=λn2；⑹α⊥βn1⊥n2,即n1·n2=0下面以正方体为模型对两者在解题中的应用进行比较研究．把传统方法记为方法一，把向量法记为方法二，下同．例1．　正方体ABCD-AD1中，证明：平面ADB1⊥平面BCD1（如图1）证明:方法一证明：由⑴得AB1⊥CD1，又∵BC⊥平面ABB1A1，向量法与传统方法比较研究　第5页共5页∴BC⊥AB1，且CD1∩BC＝C，∴AB1⊥

4、平面BCD1，又AB1平面ADB1,∴平面ADB1⊥平面BCD1方法二建立如图1的空间直角坐标系，并设平面ADB1的法向量m＝(x,y,z)，∵A(2,0,0),D(0,0,0),B1(2,2,2),则，∴故取m＝(0,1,－1)同理可以求得平面BCD1的法向量n=(0,1,1),∴mn=0,∴平面ADB1⊥平面BCD1通过以上证题过程的比较，我们可以看出：传统方法和向量法在证明立体几何中元素的位置关系时各有所长．传统方法证题过程短小精悍，证明时需要有清晰的思路，以及严密的逻辑思维能力，擅长逻辑推理的学生使用该法十分合适，在证题中无处不在的数学美也对提高学生的数学素质有着十分重要

5、的作用．而向量法则是通过将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形，这种方法减少了对复杂的空间结构的分析，使得它的思路明了简洁，运算直接，迅速地准确地解决问题，而倍受大多数解题者的青睐．有着较强计算能力的学生选择此法对于提高解题质量有较大帮助．一、在求解空间角方面的比较立体几何中的空间角主要包括异面直线所成的角、直线和平面所成的角，二面角．在求解这些角时，传统的方法通常采用了“作—证—求”三个步骤．而向量法在求解中经常用到以下结论进行求解：⑴若两直线所成的角为θ，它们的方向向量所成的角为α，则θ与α相等或互补；⑵若n是平面α的法向量,a

6、是直线l的方向向量,则l与α所成的角或-．于是,因此向量法与传统方法比较研究　第5页共5页⑶设n1、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，则二面角α-l-β的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补．例2．在四棱锥S-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2．求二面角A-SD-C的大小．（如图2）解：方法一　取AD的中点E，连结CE，过E作EF⊥SD，连结CF，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AB，又AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面SAD，由⑴得CE∥AB，∴CE⊥平面SAD，又EF⊥SD，由三垂线定理得

7、CF⊥SD∴∠CFE就是二面角A-SD-C的平面角在△SAD中，△DEF∽△DSA，∴易求得EF＝在Rt△CEF中，∴二面角A-SD-C的大小是方法二　如图2建立空间直角坐标系A-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）．设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由,得取n1=(1,1,2)．而面SAD的法向量n2=(1,0,0)．于是二面角A-SD-C的大小θ满足∴二面角A-SD-C的大小为．比较传统方法和向量法求解空间角，我们发现传统