高中数学典型题及解法积累.doc

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1、高中数学典型题及解法积累第六章：不等式、推理及证明1.（2012年6月包33中高一期末考试15题）已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式恒成立的实数m的取值范围是______________________解：∵x＋y＝4,∴,将中的1代换为,4代换为x＋y得到:==∵恒成立,∴（反思:此题巧妙地代换了不等式中的1和4，借助重要不等式,其中的积为常数，使问题迎刃而解.真可谓是“奇思妙解”.）直线和圆的方程2.（2012年6月包33中高一期末考试16题）已知p是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________.解：∵∴圆的标准方程是：圆心C

2、(1,1)半径r=1如图：四边形PACB中，△PAC和△PBC全等，且都是直角三角形.∴当△PAC的面积最小时，四边形的面积的最小.因为,这里AC=1,只需PA最小即可.而当PA最小时,CP取得最小值,此时CP与直线垂直.由点到直线的距离公式得,因此可得,∴四边形PACB面积的最小值为2（反思:此题的关键是将四边形的面积转化为两个三角形面积的和,三角形面积最小转化为求一直角边最小,而另一直角边的长度不变,进而转化为求点到直线的距离.）最值问题:(选修4-1)在一个半径为R的圆中,剪去一个圆心角为的扇形,剩下的部分围成一个圆锥,当为何值时,圆锥的容积最大.(由张清海老师作答)解法一:如图,设圆锥

3、底面半径为,高为,容积为α根据公式得当且仅当:时,即:,等号成立,取得最大值.由题意得,,所以,所以,,由此解得,答:当时,圆锥的容积最大.（反思:此题的关键是转化为不等式求最值,构造一个既能相等,且和为定值的三个连乘式子）解法二:如图,设圆锥底面半径为,高为,容积为,母线与对称轴的夹角为α,则,当且仅当:时,即:,等号成立,取得最大值.由题意得,,其中所以,所以,答:当时,圆锥的容积最大.（反思:此题的关键是转化为不等式求最值,构造一个既能相等,且和为定值的三个连乘式子）理科:概率------离散型变量1.（2013·广东模拟理17）甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，

4、面试合格者可以签约。甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响。已知至少有1人面试合格概率为。（1）求P，（2）求签约人数的分布列和数学期望值.解：（1）至少1人面试合格概率为（包括1人合格2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为.,（2）签约人数取值为0、1、2、3签约人数为0的概率：有三种情形都不合格:,甲、丙不合格，乙合格：,甲、乙不合格，丙合格：签约人数为0的概率：签约人数为1的概率：有三种情形：甲合格、乙丙都不合格；甲、乙合格，丙不合格；甲丙合格，乙不合格。人不合格，同理可得：签约人数为

5、2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：签约人数为3的概率：甲、乙、丙部合格：（解完题题后，请验证概率和为1）签约人数的分布列表：[来源:学科网]签约人数ζ0123概率P签约人数ζ的数学期望：E（ζ）＝（2012•潍坊二模）某超市计划在“五一”节期间对某种商品开展抽奖促销活动，设计的活动方案有两个：方案一：采取摸球抽奖的方法．在盒子中放入大小相同的10个小球，其中白球7个，黄球3个．顾客在购买一件该商品后，有连续三次摸球的机会，每次摸出一个小球，且每次摸出小球后不放回，每摸得一个黄球奖励价值20元的奖品一件．方案二：采用转动如图所示的图形转盘的方式抽奖．顾客在购买该商品后，用力转动圆盘一次，根据箭头

6、A指向确定获得相应价值的奖品一件（箭头A指向每个区域的可能性相等，指向区域边界时重新转动）．（I）按照这两种方案各进行一次抽奖，分别求出顾客能中奖的概率；（II）设按照方案一抽奖顾客能获得的奖品的价值为X元，按照方案二抽奖顾客能获得的奖品的价值为Y元，分别求出X和Y的分布列和数学期望．考点分析：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．属概率与统计专题内容．解题分析：（I）分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．（II）由题意知变量的可能取值，对应于变量的不同值理解对应的事件，根据等

7、可能事件的概率，做出分布列，写出期望．解：（I）按照第一种方案进行抽奖，连续三次不放回地摸球，共含有基本事件数是A=720，记“三次摸到的都是白球”为事件A，事件A包含的基本事件数为A=210，则按照方案一抽奖，不能中奖的概率为P（A）==，按照方案一抽奖，中奖的概率为1﹣P（A）=，因箭头A指向每个区域是等可能的，有奖的区域3个，所以按照方案二，能中奖的概率为，（II）由题意知，变量X的可能取值