高中数学典型题的典型意义研究.doc

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1、数学典型题的典型意义研究范言清我们在研究高考及其模拟题时会发现：立体几何问题是高考必出题。立体几何所含的知识点很多，从平行到垂直，从线线到线面、到面面；公理定理，考查的知识一大堆，当然这些知识点应该是我们必须熟记的，但仍有很多同学会说，定理，公式，我都会，我就是不会用它们做题，我们也因此希望能透过知识点找到深一层次的解题通法。或者说研究各题的思想方法找到它们的共同之处，养成一种思维习惯，从而学会解题。以下两题为例，我们做一研究。1、（2006年高考冲刺模拟试卷（九）第20题）如图正方体在ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、B1C1、A

2、A1的中点，（1）求证：EF⊥平面GBD；（2）求异面直线AD1与EF所成的角。解法一：（1）取BC的中点H，连EH，易得EH是EF在平面AC上的射影，∵BD⊥EH，∴由三垂线定理，得EF⊥BD（4分）又∵EF在平面AB1上的射影是B1E，由⊿BB1E∽⊿ABG，得B1E⊥BG，∴由三垂线定理得EF⊥BG，∵BG∩BD＝B，∴EF⊥平面GBD（8分）（2）取C1D1的中点M，连EM，易得EM∥AD1，∴∠FEM就是异面直线AD1与EF所成的角，（11分）∵MF∥BD，∴EF⊥MF在Rt⊿FEM中，由EM＝a，（为正方体的棱长），EF＝a，得∠FEM＝

3、30°，即异面直线AD1与EF成的角为30°(14分)解法二：（向量法）（1）以D1A1为ｘ轴，D1C1为ｙ轴，D1D为ｚ轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为２，则D1(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(2,2,2)，E(2,1,2)，F(1,2,0)，G(2,0,1)，D(0,0,2)(4分)∵=(2,2,0)·（-1,1,-2）=0，=(0,-2,-1)·（-1,1,-2）=0∴，又∵BG∩BD＝B，∴EF⊥平面GBD（8分）（2）＝（-2,0,-2），＝（－1,1,－2）Cos＜＞＝＝。即异面直线AD1与EF所成的角为30°。（14分

4、）典型信息：1、类型：正方体中,线面垂直，线线成角问2、典型方法思想：通过对已知条件的观察分析，结合图形根据线面垂直定理把线面垂直问题转化为线线垂直问题，根据异面直线所成角的定义把异面直线所成角问题，转化为平面直线夹角问题。空间问题化为平面问题的转化思想，数形结合思想。3、应用工具：线面垂直定理，三垂线定理，异面直线所成角定义。4、科别：立体几何5、级次：高中数学第二册下第九章6、出处：2006年高考冲刺模拟试卷（九）第20题上例是立体几何中一道典型题，下面我们从几个方面来研究一下这个问题的典型性。一、条件的典型性本题是构建在正方体中的一道题，条件具

5、备典型性。正方体是立体几何中包含点线面、线线垂直、线面垂直等各基本定理的特殊几何体，其中各边的中点位置也非常特殊，可以构建出更多的线面垂直、线线垂直、面面垂直、及平行，这些都成为我们解题中所必不可少的隐含条件，如上面由中点我们可以构造中位线，构造线面垂直，三垂线定理，所以由正方体这一典型几何体的典型性质，我们可以看出这道题的条件的典型性。把握该题中条件的典型性，我们可以把该题的条件进行变式。正方体表面共有6个面，其中3组平行面，每相邻两个平面互相垂直，每三个两两相邻的平面交于一个顶点且互相垂直。每一组相对棱构成一个对角面，四个侧棱构成的两个对角面互相

6、垂直，四个水平正棱构成两个对角面互相垂直。剩余四个平行棱构成两对角面互相垂直，这里共有三对互相垂直的对角面，每一组对面的对角线中互异的一组构成一个正四面体，共有六个正四面体，这些都可以成为题中的条件。再如，我们取上底中心，和下底正方形，可组成正四棱锥，或取上底一顶点和下底也可组成四棱锥，且侧棱与底面垂直，这些做条件都非常典型，也是高考模拟题中常见题型。二、问题的典型性。确定了条件的典型性，例题中问题的提出同样具有典型性，题中充分蕴含了线面垂直条件，提出线面垂直问题，就显得非常自然，教材中第九章的第一个单元，介绍立体几何中包括点线面在内的最基本定理、公

7、理，“线面垂直”，“异面直线”，“异面直线所成的角”，问题都是教材中典型问题，所以本题的问题提出具有典型性。除此之外，我们所学过的立体几何中的有关定理定义都属于典型问题，如线面平行、面面平行、面面垂直。变式：（1）求证：平面EGF⊥平面GBD。（2）求二面角A－BD－G的度数。（3）求AC与平面GB1D1所成的角。（4）连结A1B1和A1D1的中点MN，求证MN∥平面GBD。（5）取B1B四等分点P，D1D四等分点Q，连结M、P、Q、N，求证：平面MPQN∥平面GBD。把正方体上底正方形缩小，几何体变为棱台，又会构造出一些新的问题。对于例题中作为已知

8、条件的正方体，它的典型性，我们已经非常清楚了，如果我们把正方体稍加变化，取上底点A1和下底正方形ABCD，连