初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第11章-相似形与面积问题.doc

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1、第十一章　　相似形与面积问题第一节　　相似三角形【知识点拨】1、相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；（3）三边对应成比例，两个三角形相似；（4）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。2、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。3、涉及的问题及解题思路：证线段成比例、线段相等、线段的和差倍分、角相等；证平行、计算

2、线段长；求三角形的面积。解题时，要注意抓住题设、结论的特点，设法将问题设法与证两个三角形相似联系。【赛题精选】例1、已知正方形ABCD的边长是5厘米，EF＝FG，FD＝DG。求△ECG的面积。（2003年河北省竞赛题）【说明】在相似形中，计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式，再设法求出待求线段的长。例2、已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交于AC于P、Q两点。求AP：PQ：QC的值。（2001年河北省竞赛题）【说明】解线段a：b：c的问题，可根据相关的性质

3、将a、b、c用同一条线段表示出来，再求几条线段的比。若a、b、c正好可组成一条线段，常用这条线段表示这三条线段。例3、正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，F是边AB上一点，且AE＝2EC，FB＝2AF。求∠EDF的度数（2002年河南省竞赛题）例4、如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线∥BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。求证：PM·PN＝PR·PS。（1999年山东竞赛题）【说明】证明线段成比例的方法有：证两个三角形相似、等线代换法、等比代换法。对于等积式的证明，常将其改证比例式，若比例式不能用

4、上述三种方法证明时，可证等积式两边都等于第三个某两条线段的乘积。例5、正方形ABCD中，M、N分别在AB、BC边上，且BM＝BN，又BP⊥MC于P。求证：PD⊥PN。（1990年四川省竞赛题）【说明】要证相等的两角是两个三角形的角，若能证这两个三角形相似，且两角是对应角，则达到两角相等。此种方法是证角相等的常用方法。例6、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：4。求证：。【说明】要证明形如几何题的常用方法有：（1）比例法：将原等式变形为、，故构造以a＋b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形；（2）通分法：先将原等式变形为。利用相关定理将两个比通分，

5、即证出、，且，则原式成立。例7、在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC。求证：。（按图示辅助线以两种方法证明）【说明】证明型命题常用以下方法：（1）利用提公因式或平方差公式，将原式转化为等积式，再利用三角形相似加以证明；（2）要证，可在线段b所在的直线上取一点，则，则，再证、即可。例8、在△ABC中，D、E分别是BC、AB上一点，且∠1＝∠2＝∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是、、。求证：（1989年全国联赛题）例9、在△ABC中，BC＞AC，CH是AB上的高，且。试证明∠A＋∠B＝900或∠A－∠B＝900。（2001年全国初中数学联赛武汉

6、选拨赛题）【针对训练】　　1、在△ABC中，已知AB＝3、AC＝4、BC＝5，现将它折叠，使B、C两点重合，则折痕长是__________.（2003年全国初中联合竞赛题）第二节　　角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质定理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的

7、。【赛题精选】例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。求CD的长。例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。求AD·DC的值。（2001年全国竞赛题）【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。计算时要注意对应关系，正确书写比例式。对于求线段ab的值的题目，常由相关定理证出等积式ab＝cd，求出cd的值即可。例3、I是△ABC内角平分线的交点，AI交对应边于D。求证：。例4、Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交C

8、B于F，且EG∥AB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何？（1998年“希