高中数学 双曲线范例例题.ppt

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1、主题1双曲线的定义与名词介绍例题1双曲线的定义如右图，在方格纸中有两组同心圆，圆心分别为F1与F2，若P点在以F1，F2为焦点的双曲在线，试问A，B，C，D，E五点中，哪些点亦在此双曲线上？∵＝2，＝3∴而，，，∴故P，C，D三点位于同一双曲线上下一题例题2（焦点到中心距离)2＝（半贯轴长)2＋（半共轭轴长)2下一题已知一双曲线的贯轴长为6，两焦点的距离为10，试求此双曲线的共轭轴长。由题意知2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5因此b＝故共轭轴长2b＝8上一题主题2双曲线的标准式(1)已知一双

2、曲线的两焦点为（2,0）与（－2,0），贯轴长为2，试求此双曲线的标准式。例题3双曲线的标准式（中心在原点）(1)如右图所示因为焦点为（2,0），（－2,0）所以中心为原点，贯轴在x轴上且方程式形如又c＝2，贯轴长2a＝2，所以a＝1而b2＝c2－a2＝22－12＝3得双曲线方程式为(2)如右图所示因为焦点为（0,2），（0,－2）所以中心为原点，贯轴在y轴上且方程式形如又c＝2，贯轴长2a＝2，所以a＝1而b2＝c2－a2＝22－12＝3得双曲线方程式为下一题上一题例题3双曲线的标准式（中心在原

3、点）(2)已知一双曲线的两焦点为（0,2）与（0,－2），贯轴长为2，试求此双曲线的标准式。(1)将方程式4x2－16y2＝64改写成与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点O（0,0）如右图所示，两焦点在x轴上且a＝4，b＝2c＝所以贯轴长2a＝8，共轭轴长2b＝4焦点为（,0）与（,0）顶点为（4,0）与（－4,0）例题4双曲线的各要素(1)已知一双曲线的方程式为4x2－16y2＝64，试求其贯轴长、共轭轴长、中心、焦点及顶点坐标。(2)将方程式16x2－9y2＝－144改写成与标准式比较，得知

4、此双曲线的中心在原点O（0,0）如右图所示，两焦点在y轴上，且a＝4，b＝3，c＝所以贯轴长2a＝8，共轭轴长2b＝6焦点为（0,5）与（0,－5）顶点为（0,4）与（0,－4）下一题上一题例题4双曲线的各要素(2)已知一双曲线的方程式为16x2－9y2＝－144，试求其贯轴长、共轭轴长、中心、焦点及顶点坐标。例题5双曲线的应用核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔的截面图，颈部＝4是双曲线的贯轴长。出风口直径＝8，入风口直径＝28，已知，，互相平行，且与的距离为24，试求与的距离。将此

5、冷却塔的截面图坐标化设双曲线的中心为O（0,0），贯轴在x轴上∴2a＝4a＝2可假设此双曲线的方程式为，即又＝28，与的距离为24故此双曲线通过D（14,－24）例题5双曲线的应用核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔的截面图，颈部＝4是双曲线的贯轴长。出风口直径＝8，入风口直径＝28，已知，，互相平行，且与的距离为24，试求与的距离。代入可得b2＝12，而F点的x坐标为4，y坐标即为与的距离，代入双曲线可得y＝±6（负不合）∴与的距离为6下一题上一题例题6求渐近线下一题试求双曲线的

6、两条渐近线方程式。的两条渐近线为与即4x－3y＝0与4x＋3y＝0上一题主题3双曲线的渐近线例题7双曲线与渐近线试证：双曲线Γ：上任一点P到两直线L1：bx－ay＝0与L2：bx＋ay＝0的距离乘积为定值。设P（x0,y0）为双曲线Γ：上任一点可得b2x02－a2y02＝a2b2又P（x0,y0）到L1的距离为P（x0,y0）到L2的距离为故P到L1与L2的距离乘积为下一题上一题例题7双曲线与渐近线试证：双曲线Γ：上任一点P到两直线L1：bx－ay＝0与L2：bx＋ay＝0的距离乘积为定值。例题8

7、共轭双曲线下一题试求双曲线的共轭双曲线。的共轭双曲线为上一题主题4共轭双曲线与等轴双曲线例题9等轴双曲线下一题一等轴双曲线的两焦点为F1（0,），F2（0,），求此双曲线方程式。此等轴双曲线的中心为的中点，即（0,0），且其贯轴在y轴上，而2c＝，得c＝又c2＝a2＋b2，且a＝b，故a2＝b2＝4故此等轴双曲线的方程式为上一题主题5双曲线的平移与伸缩例题10双曲线的标准式（中心为（h,k））下一题已知一双曲线的两焦点为（7,1）与（－3,1），贯轴长为6，试求此双曲线方程式。如右图所示，因为两焦

8、点为（7,1）与（－3,1）所以中心（h,k）＝（2,1），贯轴平行x轴，且c＝5，又贯轴长2a＝6∴a＝3而b＝，代入标准式得双曲线的方程式为上一题(1)如右图，将双曲线Γ：以原点为中心伸缩2倍可得双曲线Γ'：（a与b皆成为原来2倍）即例题11双曲线的伸缩(1)已知双曲线Γ：，将图形Γ以原点为中心伸缩2倍，得到一个新双曲线Γ'的图形，试求双曲线Γ'的方程式。(2)Γ：的两条渐近线为与Γ'：的两条渐近线为与皆可整理成x＋2y＝0与x－2y＝0故Γ与Γ'的渐近线相同下一题上一题例题1