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1、人教A版必修五《1.1.2余弦定理》教学设计湖南省衡阳市第八中学刘亮生一、教学结构体系:1.前后内容联系:本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章余弦定理第一课时(余弦定理安排2课时)，是在学生学习了三角函数、向量等知识之后，是对三角知识的应用，也是对解直角三角形内容的直接延伸，定理本身的应用十分广泛.2.本节课的结构:分组合作，探究问题应用定理，解决问题综合拓展，升华问题创设情境，引出问题二、学生学情分析:对普高高二的学生来说，已学的平面几何、解直角三角形、三角函数、向量等知识，有一定观察分析、
2、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师应多加强引导，注重前后知识间的联系。培养学生积极参与分析问题、小组合作，探究问题、运用知识解决问题。三、教学目标、重点与难点分析：1.教学目标：（1）知识目标：掌握余弦定理的内容及其证明方法，能运用余弦定理解解斜三角形的.（2）能力目标：通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力.2.教学重点：三角形边角关系的探索；余弦定理
3、的发现与证明；余弦定理的简单应用。3.教学难点：余弦定理的证明，余弦定理的拓展。三、教学过程：BA（一）创设情境，引出课题：BA情境1:如图1所示，两地之间的距离怎么测定？情境2:如图2所示，两地之间隔着一座小山，现要在之间修建的一条隧道，工程技术人员如何测量隧道的长度？（工具：皮尺、水平测距仪、测角仪）问题1:上述两问题区别在哪里，分别如何解决？学生：情境1中两点间（无障碍）可直接到达，可直接用测量工具（水平测距仪）测量，ABC情境2中两点间（有障碍）不可到达，直接用测量工具（水平测距仪）测不出来。教师：如果你是工程测量技术
4、人员，你会怎么解决情境2中的问题？学生：在两地以外选择点，使可直接用测量工具测出距离。教师：仅仅测出的距离，就能得到之间的距离吗？学生：不行，我们还可以用测角仪测出的大小，通过解三角形求的长度。教师：若将情境2问题化归为解三角形问题，则该问题是解三角形的什么问题？学生：已知三角形的两边及夹角，求第三边问题。教师：本节课我们将要探究的问题是:在已知三角形两条边的长度前提下,其夹角与第三条边的长度之间关系，这正是余弦定理所揭示的规律----引入课题.设计意图：通过实例创设情境，引发学生对本节课的兴趣，同时抽象出数学问题引入新课.（
5、二）问题化归，构建模型：问题2:如图3在中，已知,,当变大时,线段的长度的如何变化？教师：（用动画演示）学生：当变大时,线段的长度变大。教师：刚才我们只是对中，已知,,的变化与线段的长度的变化趋势作了定性分析；那么在中的大小与线段的长度是否有确定的关系，若有，如何寻找？学生：解三角形.（三）解证模型，得出定理：问题3：如图在中，已知,,当时,线段的长度为多少？（用）（PPT展示三种类型三角形）ACBba方法一：（构造直角三角形）解：(1)当为直角时,.(2)当为锐角时,过点A作ACBbaD=.(3)当为钝角时,过点A作交BC的
6、延长线于D.则ACBbaD=.综上所述,均有成立.教师：这种思路是构造直角三角形,利用勾股定理来计算AB的长,但要注意这里要分三种情况讨论.除了用构造三角形的方法，通常我们求两点间距离还有什么方法？学生：向量的模长、两点间的距离公式。教师：（引导学生小组探究，用向量的方法证明结论）方法二：（构造向量数量积）ABC证明：如图，因为，所以即．即成立.教师：这种方法的思路是构造向量,借助向量的运算来证题.将向量等式转化数量等式常用的手段是作数量积.方法三：（建立直角坐标系）证明：ACBBB建立如图所示的直角坐标系，则，，根据两点间的
7、距离公式，可得，所以，．教师：这种思路是建立平面直角坐标系,借助于坐标运算来证题.利用坐标法的优点在于不必分类讨论了且运算简单.设计意图：通过对情境问题的探究，将实际问题生成数学问题，并运用多种方法予以证明，充分培养学生的发现问题、探究问题解决问题的能力，同时也培养了学生发散性思维能力.问题4：以上结论为余弦定理，如何用文字语言与符号语言表示以上定理？你能说出来吗？教师：大家观察我们刚才证明的式子，如果把它们平方就可以得出结论？学生：，即.教师：同理这个式子也可以用来求另外两边，你能把其他两边也用式子表示出来吗？学生：能，；.
8、教师：很好,这三个式子就是余弦定理的符号语言表述形式,这个式子非常美观,便于记忆,希望大家好好记忆,请问那位同学能用文字语言把它表述出来吗?符号语言：；；.文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍.设计意图：让学生用两种数学
