高三数列应用题专项训练.doc

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1、数列应用题专题训练一、储蓄问题　　对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。　　单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。　　复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。　　例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：　　(1)如果按五年期零存

2、整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)；　　(2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。　　问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？　分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。　　解：若不计复利，5年的零存整取本利是　　2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950；　　若计复利，则2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元

3、。　　所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？　　解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。　　设每次所付欠款顺次构成数

4、列{an}，则a1=50+1000×0.01=60元，　　a2=50+(1000-50)×0.01=59.5元，a3=50+(1000-50×2)×0.01=59，……an=60-(n-1)·0.5　　所以{an}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，　　故a10=60-9×0.5=55.5元　　20次分期付款总和S20=×20=1105元，实际付款1105+150=1255(元)　　答：第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。例3、（疾病控制问题）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发

5、生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染

6、人数。略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n—30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.故共感染者人数为：=8670，化简得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。例4（住房问题）某城市1991年底人口为

7、500万，人均住房面积为6m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成APa1=6×500=3000万m2，d=30万m2，a10=3000+9×30=32701990年、1991年、……2000年人口数成GPb1=500,q=1%,∴2000年底该城市人均住房面积为：点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。例5（浓度问题）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，

8、以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，问：1.第5次倒出的的1kg盐水中含盐多少g？2.经6次倒出后，一共倒出多少