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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义1知识回顾BAbao.O.Ca+bbaABba+ba1.向量加法三角形法则:2.向量加法平行四边形法则:首尾相连首尾接起点相同连对角o.BAa-bab3.向量减法法则:共起点，连终点，方向指向被减数2-aaCa=3a=3(-a)练习引入OaAaBN-aP-aQ-aM(1)向量的方向与的方向相同,向量的长度是的3倍,即；(2)向量的方向与的方向相反,向量的长度是的3倍,即.=-3a探究:向量、与在方向与长度上有什么变化？，作出已知非零向量a。和)()()(aaaaaa-+-+-++3特别地，当λ=0或a=0时,λa=0当
2、λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
3、λa
4、=
5、λ
6、·
7、a
8、一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。向量的数乘定义它的长度和方向规定如下：(1)长度(2)方向几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（或不改变）的方向，就得到了λa
9、λ
10、aa4结论:2a+2b=2(a+b)结论:3(2a)=6a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。观察总结5①λ(μa)=运算律:设a、b为任意向量，λ、μ
11、为任意实数，则有：②(λ+μ)a=③λ(a+b)=实践出真知(λμ)aλa+μaλa+λb（-λ）a=-(λa)=λ(-a)特别地，λ(a-b)=λa-λb结合律第一分配律第二分配律6（2）对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2恒有λ(μ1a±μ2b)=解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=计算：(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(3a-2b+c)(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12aλμ1a±λμ2b牛刀小试结论：（1）
12、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。71、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？对于向量a(a≠0)、b，以及实数λ：2、如果a与b共线，那么是否有λ，使b=λa？？自主探究对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ(μ>0)倍，即有
13、b
14、=μ
15、a
16、,且8向量共线定理:向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa.即：？自
17、主探究思考：9定理应用例1：如图，点C在线段AB上，且AC=5，BC=2,ABC则有（1）AC=______AB;CA=_____AB（2）BC=______AC.变式：如图:ABCD的两条对角线交于点M,且,你能用 ，表示:ADBMCMB=_____________;MA=_____________;AC=_____________;10AEDCB解：=3AC=3(AB+BC)∵AB+BC=AC=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试证明AC与AE共线。摇身一变例2：又AC与AE有公共点A，∴A、C、
18、E三点共线.定理应用变式1：如图，已知AD=3AB、AE=3AC，试证明BC和DE共线。变式2：如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断A、C、E三点位置关系?结论：向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。11解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴A、B、C三点共线.abbb已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ba∵AB=OB-OA∴AC=2AB又AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，能
19、力提升12思考题：如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+bMC=…=a+b13（C）分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿(1)(2)ABCD练习14二、知识应用：1.证明向量共线；2.证明三点共线:一、概念与定理①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线尝试小结？15
