工学第七章欧氏空间ppt课件.ppt

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1、第七章　欧氏空间一、教学目标1．熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念；2．掌握Schwarz不等式及应用；3．理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交补的概念及应用；4．理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系；5．理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系。熟练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。二、重点：内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基，正交变换，对称变换。三、难点：正交变换，对称变换。四、课时：20学时1§７．１向量的内积定义1设V是R上一个向量空间，如果有一个确定的实数记作与它对应，并且满足：１）２）３）４）这里叫向量的内积，而V叫做对这个

2、内积来说的一个欧氏空间，记作2说明：①定义中的1）——4）称为内积公理。②这里把内积的符号记为主要是与中内积相区别，也就是说是对实数域上的所有向量空间通用的符号。③今后，谈到欧氏空间，如无特殊情况，它的内积为：3内积的性质：（1），有（2）如果，有特别地，若（3）（4）4定义2设①向量的长度是零,非零向量的长度是正数②③长度是1的向量，称为单位向量。即为单位向量④任一非零向量，都可以化为单位向量事实上：即为单位向量说明：5定理1在欧氏空间中，，有：当且仅当线性相关，等式成立。①由定理1得：这正是大家熟知的Cauchy（柯西）不等式。说明：6因此我们也把不等式（１）叫Cauc

3、hy－Shwarz不等式。在中，，规定则这也是大家熟知的Shwarz(施瓦兹)不等式。②，当正交时，等式成立。称为内积勾股定理。7设是欧氏空间的两个非零向量.的夹角为θ.定义:说明:①∵∴∴这样定义是符合意义的,且的夹角θ是唯一确定的定义38②由则:③当补充定义:零向量与任意向量均正交.推广：在欧氏空间中，中每个向量正交.则的任意线性组合也正交.即9定义4在欧氏空间中.的距离说明：①的距离实际是的长度.②距离的性质:（i）正定性：当(ii)对称性：(iii)三角不等式：称(i)、(ii)、(iii)为距离公理。（iii）在解析几何中的意义是：三角形两边之和大于第三边。10定

4、理2如果W是欧氏空间V的一个子空间，那么对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。117.2正交基定义1.欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单位向量。则称为一个标准正交组。说明：①正交组是线性无关的向量组。②在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个.③特别:如果是n维欧氏空间Ｖ的一组正交组.则称为V的一个正交基.如果是n维欧氏空间V的标准正交基.则称为V的一个标准正交基.12定理1向量关于一个标准正交基的第i个坐标等于与第ｉ个基向量的内积.定理2设是欧氏空间

5、v的一个线性无关组，那么可以求出v的一个正交组使得可由线性表示出。（k=1，2，m）。说明：①此定理不仅给出标准正交组是存在的。而且给出一个具体求正交组的方法。使得我们可由任一个线性无关组出发得出一个标准正交组，这种方法叫正交化方法。有的书上称为施密特正交化方法。②对于n维欧氏空间v，如果是v的基。则由正交化方法可得到v的一个正交基。进而得到v的一个标准正交基即n维欧氏空间v一定有正交基。因而有标准正交基。③称为正交化公式。13定义2.一个n阶实矩阵Ｕ叫做一个正交矩阵，如果：说明：由定义得：说明：定理3：维欧氏空间Ｖ的一个标准基到另一个标准正交基的过渡矩阵Ｕ的正交矩阵。（1

6、）给出两个标准正交基的过渡矩阵所具有的属性。（2）由定理可以得到：如果是标准正交基,Ｕ是正交矩阵，则由=Ｕ得到是标准正交基。14定义3、设W是欧氏空间V的一个非空子集.如果,且与W中每一个向量正交，则称与W正交，记为:说明：①V中与W正交的向量所成的子集记为,②③W是V的一个子空间.15定理4.令W是欧氏空间V的一个有限维子空间.那么因而V中每一向量可以唯一写成这是,.是唯一的.定理5设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，ξ是V的任意向量，η是ξ在W上的正射影，那么对于W中任意向量.都有说明:把在上的正射影叫做到的最佳逼近.16定义4欧氏空间是同构的，如果：（i）存在的一个同

7、构映射：（ii）对都有说明：①（ii）称为保内积不变②如果是欧氏空间的同构映射，则是向量空间的同构映射，因而同构的欧氏空间有相同维数。定理6说明：①任意n维欧氏空间与同构。两个有限维欧氏空间同构维数相等。②欧式空间的结构完全被它的维数所决定。177.3正交变换定义1.欧氏空间的一个线性变换叫做一个正交变换。如果对于任意。都有：说明：保持向量长度不变的线性变换叫正交变换。（旋转变换，镜面反射等都是正交变换）。18定理1.设是欧氏空间的一个线性变换。则（保持内积不变）是正交变换（）（保持长度不变）说明：正交变换保持夹角