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时间:2020-03-07
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1、一道高考题的教学反思浏阳三中陈菊珍2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷文科15题):已知椭圆的两焦点为,点满足,则的取值范围为,直线与椭圆的公共点个数为.这次复习圆锥曲线时,将此题作为了一个练习题,学生答题情况是第一问还好,第二问却作做对的人很少,到学生那了解,都反映联立方程组用△去判断,运算量非常的大,算不下去。事实上自己算一下也知道确实运算量非常之大,但算还是可以算出来。不过,再仔细想一想,这是一个小题其中的一问,命题者的意图会让学生“小题大做”吗?我们来看一看该题提供的解答:因为在椭圆的内部,则直线上的点(x,y)均在椭圆外,故此直线与椭圆不可能有
2、交点,故交点数为0个。我敢肯定,按照解答去讲解,学生会半信半疑。故讲解该题时,我引用了柯西不等式,让学生信服了解答的结论。至此,学生才相信了解答所说。课后,有学生说,在直线与圆的位置关系中,除了用△法可以判定,还可以用几何法也就是借助圆心到直线的距离与半径去比较,那么椭圆是由圆变换得到的,应该也会有类似的方法。我要他谈谈他的想法:如果椭圆中心到直线的距离与椭圆上的点到中心的最大距离比较,若中心到直线的最短距离比实半轴(椭圆上的点到中心的最大距离)还要大,则直线与椭圆相离,但是用来解此题得不出结论,事实上,上面只是一个充分非必要条件。我提醒他从椭圆的定义入手,着手去
3、思考直线上的点与焦点的距离和之间的关系,事实上设直线上的动点P到椭圆两焦点、的距离和的最小值为,则(1)直线和椭圆C相切;(2)直线和椭圆C相离;(1)直线和椭圆C相交;证明:(1)直线和椭圆C相切直线和椭圆C有且仅有一个公共点直线上有且仅有一个点在椭圆上,而其它点全在椭圆外的最小值为(2)(3)可以类似证明,证明略但是用这个结论来解此题,也是行不通的,因为学生去找直线上的点到焦点的最小距离本身又是一个难点。回想到直线与圆的位置关系判定的几何法,何不先将椭圆变换成圆来考虑呢?通过和学生的共同探讨:得出了下列结论,已知:直线椭圆,则(1);(2);(3)。证明:作伸
4、缩变换:则椭圆C变成曲线的方程为:(已化为单位圆),直线l变成直线的方程为,易知伸缩变换前后直线和曲线的位置关系(公共点的个数)保持不变;由于圆心到直线的距离∴和椭圆C相交和单位圆相交同理:和椭圆C相切和椭圆C相离由这种结论做该题,很快就解决,学生对于这种思路比较感兴趣,按他们的话说,“直线与椭圆”的位置关系问题可以转化为“直线与圆”的位置关系问题,那就简单了。通过这一例子,学生对新教材选修部分的内容也陡然增加了兴趣,因为此题的“柯西不等式”和“伸缩变换”均为选修部分内容,在此题中竟然有如此妙用。
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