上海中考数学“分类讨论题”型详解.doc

上海中考数学“分类讨论题”型详解.doc

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1、上海中考数学“分类讨论题”型详解上海市平乐中学庄士忠200540整体感悟:分类讨论问题是创新性问题之一,此类题综合性强,难题较大,在历年中考试题中多以压轴题出现,对考生的能力要求较高,具有很强的选拔性。综合中考的复习规律,我觉得分类讨论的知识点有三大类:1.代数类:代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标未给定)所在象限等.2.几何类:几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3.综合类:代数与几何类分类情况的综合运用.在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种

2、重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.  分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.  分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级有序进行.(4)以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义,其中以绝对值、方程及根的定义,函数的定义尤为重要,必须明确讨论对象及原因

3、,进而确定其存在的条件和标准。例题1.求函数的图象与x轴的交点?点拔:二次项系数中含有参数k,此函数可能是二次函数,也可能是一次函数,故应对分类讨论.解:(1)当时,即时,此函数为,故其与x轴只有一个交点(1,0)(2)当时,此函数为二次函数,.①当时,Δ=0.抛物线与x轴的交点只有一个.,交点坐标为(1,0)②当时,Δ>0,函数与x轴有两个不同的交点..综合所述:当或时,函数图像与x轴只有一个交点(1,0);当且时,函数图像与x轴有两个不同交点.变式思考:已知关于x的方程(1)若方程有实数根,求k的取值范围(2)若等腰三角形ABC的边长a=3,另两边

4、b和c恰好是这个方程的两个根,求ΔABC的周长.易误:根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程,同时应注意的是第(2)问中并无说明哪两边是ΔABC的腰,故应考虑其所有可能情况.题型2:考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示:此类问题通常在函数中体现颇多,考查自变量的取值范围的分类,解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.例题2、如图(1)边长为2的正方形ABCD中,顶点A的坐标是(0,2)一次函数的图像随的不同取值变化时,位于的右下方由和正方形的边围成的图形面积为S(阴影部分).(1)当取何值时,S=3?(2)在平面直角坐标系下(图2),画

5、出S与的函数图像.  点拔:设与正方形ABCD的交点为M,N,易知ΔDMN是等腰RtΔ,只有当MD=时,,那么,此时求得,第(2)问中,随着的变化,S的表达式发生变化,因而须分类讨论在不同取值时S的表达式,进而作出图像.解:(1)设与正方形ABCD的交点为M,N,∵的解析式,在x轴,y轴上所截线段相等.∴ΔDMN为等腰RtΔDMN∵S=3,∴又∵∴MD=ND=,∴ON=OD-DM=4-,即D点的坐标为(0,4-)图(2)∴,即当时,S=3.(2)∵直线与轴的交点M的坐标为  ∴当0≤t<2时,当2≤t<4时,当t≥4时,S=4根据以上解析式,作图如下图

6、(图2)变式思考:如图所示,在平行四边形ABCD中,,∠A=60°,BD⊥AD,一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD.(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积;(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.①求S关于t的函数关系式;②(附加题)求S的最大值.易误:

7、讨论变量的取值范围,是解本题的关键,解此类题应十分注意变量的取值须符合题意,逐层分析.题型3.考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示:熟知直角三角形的直角,等腰三角形的腰与角以及圆的对称性,根据图形的特殊性质,找准讨论对象,逐一解决.例题3、在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,圆A的半径为1,如图所示,若点O在BC边上运动,(与点B和C不重合),设BO=x,ΔAOC的面积为.(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当圆O与圆A相切时ΔAOC的面积.点拔:(1)过点A作AD⊥BC于D点 ∵AB=

8、AC=∴AD==2∴OC=BC-BO=4-x,故ΔAOC的面积与的函数解析式为即 (2)由于圆

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