弹性力学试题及答案.doc

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1、《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。2．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。3．等截面直杆扭转问题中，的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M。4．平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：，。二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边

2、界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。题二（2）图（a）（b）3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比m已知。试求薄板面积的改变量。24题二（3）图设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为。由得，设板在力P作用下的面积改变为，由功的

3、互等定理有：将代入得：显然，与板的形状无关，仅与E、、l有关。4．图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。题二（4）图（1）；（2）（3）5．试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数或为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。24（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin位移

4、函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为）（13分）题三（1）图解：很小，，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数代入，可求得应力分量：；；边界条件：（1）；代入应力分量式，有或（1）（2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有：，和M=Pd由该脱离体的平衡，得将代入并积分，有24得（2）联立式（1）、（2）求得：，代入应力分量式，得；；。结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，

5、故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。（12分）题三（2）图解：（1）求横截面上正应力任意截面的弯矩为，截面惯性矩为，由材料力学计算公式有（1）（2）由平衡微分方程求、平衡微分方程：其中，。将式（1）代入式（2），有积分上式，得24利用边界条件：，有即（4）将式（4）代入式（3），有或积分得利用边界条件：，得：由第二式，得将其代入第一式，得自然成立。将代入的表达式，有（5）所求应力分量的结果：24（6）校核梁端部的边界条件：（

6、1）梁左端的边界（x=0）：，代入后可见：自然满足。（2）梁右端的边界（x=l）：可见，所有边界条件均满足。检验应力分量是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为将应力分量式（6）代入应力相容方程，有，显然，应力分量不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数；（2）用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。24（13分）题二（3）图解：两种

7、形式的梁挠度试函数可取为——多项式函数形式——三角函数形式此时有：即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为取：，有，代入总势能计算式，有由，有24代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为4．已知受力物体内某一点的应力分量为：，，，，，，试求经过该点的平面上的正应力。（12分）解：由平面方程，得其法线方向单位矢量的方向余弦为，，，《弹性力学》课程考试试卷学号：姓名：工程领域：建筑与土木工程题号一二三四五总分得分考试时间：120分钟考试方式：开卷任课教师：杨静日期：2007年4月28日一、简述题（40分）1.试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力