弹性力学试题及答案.doc

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1、《弹性力学》试题参考答案(答题时间:100分钟)一、填空题(每小题4分)1.最小势能原理等价于弹性力学基本方程中:平衡微分方程,应力边界条件。2.一组可能的应力分量应满足:平衡微分方程,相容方程(变形协调条件)。3.等截面直杆扭转问题中,的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M。4.平面问题的应力函数解法中,Airy应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点(基准点)到任一点外力的矩。5.弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为:,。二、简述题(每小题6分)1.试简述力学中的圣维南原理,并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理:如果物体的一小部分边

2、界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力(主矢与主矩相同),则近处的应力分布将有显著的改变,但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用:(1)将次要边界上复杂的面力(集中力、集中力偶等)作分布的面力代替。(2)将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2.图示两楔形体,试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。题二(2)图(a)(b)3.图示矩形弹性薄板,沿对角线方向作用一对拉力P,板的几何尺寸如图,材料的弹性模量E、泊松比m已知。试求薄板面积的改变量。24题二(3)图设当各边界受均布压力q时,两力作用点的相对位移为。由得,设板在力P作用下的面积改变为,由功的

3、互等定理有:将代入得:显然,与板的形状无关,仅与E、、l有关。4.图示曲杆,在边界上作用有均布拉应力q,在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件(除固定端外)。题二(4)图(1);(2)(3)5.试简述拉甫(Love)位移函数法、伽辽金(Galerkin)位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想,并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想:(1)变求多个位移函数或为求一些特殊函数,如调和函数、重调和函数。24(2)变求多个函数为求单个函数(特殊函数)。适用性:Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题;Galerkin位移

4、函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1.图示半无限平面体在边界上受有两等值反向,间距为d的集中力作用,单位宽度上集中力的值为P,设间距d很小。试求其应力分量,并讨论所求解的适用范围。(提示:取应力函数为)(13分)题三(1)图解:很小,,可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数代入,可求得应力分量:;;边界条件:(1);代入应力分量式,有或(1)(2)取一半径为r的半圆为脱离体,边界上受有:,和M=Pd由该脱离体的平衡,得将代入并积分,有24得(2)联立式(1)、(2)求得:,代入应力分量式,得;;。结果的适用性:由于在原点附近应用了圣维南原理,

5、故此结果在原点附近误差较大,离原点较远处可适用。2.图示悬臂梁,受三角形分布载荷作用,若梁的正应力由材料力学公式给出,试由平衡微分方程求出,并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。(12分)题三(2)图解:(1)求横截面上正应力任意截面的弯矩为,截面惯性矩为,由材料力学计算公式有(1)(2)由平衡微分方程求、平衡微分方程:其中,。将式(1)代入式(2),有积分上式,得24利用边界条件:,有即(4)将式(4)代入式(3),有或积分得利用边界条件:,得:由第二式,得将其代入第一式,得自然成立。将代入的表达式,有(5)所求应力分量的结果:24(6)校核梁端部的边界条件:(

6、1)梁左端的边界(x=0):,代入后可见:自然满足。(2)梁右端的边界(x=l):可见,所有边界条件均满足。检验应力分量是否满足应力相容方程:常体力下的应力相容方程为将应力分量式(6)代入应力相容方程,有,显然,应力分量不满足应力相容方程,因而式(6)并不是该该问题的正确解。3.一端固定,另一端弹性支承的梁,其跨度为l,抗弯刚度EI为常数,梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用,如图所示。试:(1)构造两种形式(多项式、三角函数)的梁挠度试函数;(2)用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解(取1项待定系数)。24(13分)题二(3)图解:两种

7、形式的梁挠度试函数可取为——多项式函数形式——三角函数形式此时有:即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为取:,有,代入总势能计算式,有由,有24代入梁的挠度试函数表达式,得一次近似解为4.已知受力物体内某一点的应力分量为:,,,,,,试求经过该点的平面上的正应力。(12分)解:由平面方程,得其法线方向单位矢量的方向余弦为,,,《弹性力学》课程考试试卷学号:姓名:工程领域:建筑与土木工程题号一二三四五总分得分考试时间:120分钟考试方式:开卷任课教师:杨静日期:2007年4月28日一、简述题(40分)1.试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力

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