资源描述：
《概率与统计31教科院.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。§3.1二维随机变量的联合分布一、二维随机变量由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们重点讨论二维随机变量.定义设随机试验的样本空间为而是定义在上的两个随机变量，称为定义
2、在上的二维随机变量或二维随机向量.注：一般地，称个随机变量的整体为维随机变量或随机向量.二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）xy二、二维随机变量的分布函数二维随机变量的性质不仅与及有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,将作为一个整体进行研究.与一维情况类我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.定义设是二维随机变量，对任意实数二元函数故需似,记为称为二维随机变量的分布函数或称为随变量和的联合分布函数.若将二维随机变量视为平面上随机点的坐标，则分布函数就是随机点落入区域(如下图)的概率.由概率的加法法则，随机点落入矩形域的概率X1X2y1y2（x2,y2
3、）二维随机变量的分布函数若已知的分布函数则可由导出和各自的分布函数和分别称和为关于和的边缘分布函数.联合分布函数的性质随机变量的联合分布函数联合分布函数的性质：且(1)注：以上四个等式可从几何上进行说明.对任意固定的对任意固定的联合分布函数的性质（2）关于和均为单调非减函数，即对任意固定的当对任意固定的当（3）关于和均为右连续，即go例设二维随机变量的分布函数为求事件的概率.解：求两个边缘分布函数。三、二维离散型随机变量及其概率分布若二维随机变量只取有限个或可数个值，称为二维离散型随机变量.为二维离散型随机变量离散型随机变量.定义若二维离散型随机变量所有可能的取值为则称则均为
4、为二维离散型随机变量的概率分布(分布律),或与的联合概率分布(分布律).易见，满足下列性质：与一维情形类似，有时也将联合概率分布用表格形式来表示，并称之为联合概率分布表:联合概率分布表对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定取值于任何区域上的概率.设二维离散型随机变量的概率分布为则特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数:联合概率分布表由和的联合概率分布，可求出各自的概率分布：分别称和为关于和的边缘概率分布.注：和分别等于联合概率分布表的行和与列和.例1设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量在中等可能
5、地取一整数值,试求的分布律.解由乘法公式容易求得的分布律.易知的取值情况是:大于的正整数,且于是的分布律为取不123412341/41/81/121/161/81/121/121/161/161/16000000.例1把一枚均匀硬币抛掷三次,设为三次抛掷中正面出现的次数,而为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求的概率分布及关于的边缘分布.解可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)故的概率分布如右表.13001/813/8023/80301/8解从概率分布表不难求得关于的边缘分布.13001/813/8023/80301/8从而得右表13012303/83/8
6、06/81/8001/82/81/83/83/81/81求及追加问题：例设的概率分布由下表给出,求-1020120.10.30.150.20.05000.10.1解例设二维随机变量的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求及解四、二维连续型随机变量及其概率密度定义设为二维随机变量，为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数任意实数有则称为二维连续型随机变量，并称为的概率密度(密度函数)，密度(联合密度函数).使得对或与的联合概率二维连续型随机变量及其概率密度概率密度函数的性质：(1)(2)二维连续型随机变量及其概率密度(3)若在点连续
7、，则有进一步，根据偏导数的定义，可推得：当很有小时，即，落在小区间上的概率近似等于因为：故当有很小时，又因为，故当有很小时，即即因此二维连续型随机变量及其概率密度(4)设是平面上的区域，点落入内的概率为特别地，边缘分布函数上式表明，是连续型随机变量，且其密度函数为:二维连续型随机变量及其概率密度同理，是连续型随机变量，且其密度函数为：分别称和为关于和的边缘密度函数.设二维随机变量的概率密度为(1)确定常数k；(2)求的分布函数；.(4)求例（5）求(X,Y)的边缘密度，(1)所以解(2)当时，当时，所以
