2014年高考数学第一轮复习：幂函数图像与性质.doc

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1、幂函数的性质与图像幂函数及其性质1、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2、函数的图像（1）（2）（3）（4）（5）用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3.幂函数的

2、图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数.轴和直线之间，图象由上至下，指数.：　4.规律总结　　1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；　　2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象

3、是横卧抛物线型．在[0，+∞]上，、、、是增函数，在（0，+∞）上，是减函数。例1．已知函数，当为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）或（2）（3）（4）（5）变式训练：已知函数，当为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：解得：小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。例2．比较大小：（1）（2）（3）（4）解：（1）∵在上是增函数，，∴（2）∵在上是增函数，，∴（3）∵在上是减函数，，∴；∵是增函数，，∴；综上，（4）∵，，，∴例3．已知幂函数（）的图象

4、与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．例4、设函数f（x）＝x3，　　（1）求它的反函数；　　（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．　　解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．　　（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）．　　∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；　　在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知　　f－1（x）＞f（x）时，

5、x＜－1或0＜x＜1；　　f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．　　当t＝－1时，ymin＝3．　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．　　点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．1.下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｃ2.下列函数在上为减函数的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｂ3

6、.下列幂函数中定义域为的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｄ4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　）　A．{x

7、x≠0或x≠2}　　B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］　D．（0，2）　解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．　　答案：B5．函数y＝（1－x2）的值域是（　　）　　　A．［0，＋∞］　　　B．（0，1）C．（0，1）　　　　D．［0，1］　　解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝．　　∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．　　答案：D6．函数y＝的单调递减区间为（　　）　　A．（－∞

8、，1）　　　　B．（－∞，0）C．［0，＋∞］　　　　　D．（－∞，＋∞）　解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B．　　答案：B7．若a＜a，则a的取值范围是（　　）　A．a≥1　　　　　B．a＞0C．1＞a＞0　　　　　D．1≥a≥0　解析：运用指数函数的性质，选C．　答案：C8．函数y＝的定义域是。　解析：由（15＋2x－x2）3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5．　　答案：A9．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．解析：m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1．　答案：m＝－110、讨论函