经济数学基础--微积分第一章.ppt

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1、时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证1.1.1函数的概念1.1初等函数回顾1.1.2函数的几种特性1.1.3初等函数1.1.4反函数和复合函数定义1.1.1:设和是两个变量，是给定的数集，如果对于每个，变量按照某个对应法则总有一个唯一确定的数值和它对应，则称是的函数，记作.数集称为函数的定义域,称为自变量,称为因变量.当取数值时,对应的的数值称为函数在处的函数值,记作当取遍内的各个数值时,对应的函数值全体组成的数集称为函数的值域.函数的概念1函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的数集,这种

2、定义域称为函数的自然定义域.常见的函数的定义域有如下原则:(1)对于分式函数,分母不能为零,如;(2)偶次根号下的变量不能小于零,如;(3)对于对数函数,规定:底数,,真数;(4)对于正切函数,规定:,;(5)对于余切函数,规定:,;(6)对于反正弦函数和反余弦函数规定:.函数的几种特性2函数的特性有界性奇偶性周期性单调性初等函数31、初等基本函数我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2、初等函数3、分段函数若函数在它的定义域内的不同区间(或不同点)上有不相同的表达式,则称它为分段函数.例如符号函数就是一个分段函数,如图所示.注意分段函数不是初等函数.反函数

3、和复合函数41、反函数定义1.1.2:设为定义在上的函数,其值域为,若对于数集上的每个数,数集中都有惟一确定的一个数使,即变量为的函数,这个函数称为函数的反函数,记为,其定义域为,值域为.解由,可解得.交换和的次序,得,即为的反函数.2、复合函数定义1.1.3:设是的函数,而又是的函数,且的值域与的定义域的交集非空,那么,通过中间变量的联系成为的函数,我们把这个函数称为是由函数与复合而成的复合函数,记作.例1.1.4已知,试把表示为的函数.解因为,而,是中间变量,所以例1.1.5设,,,试把表示为的函数.解,分别是中间变量,故.时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔

4、恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证1.2.1数列的极限1.2极限的概念1.2.2函数的极限数列的极限1先给出数列的定义:在某一对应规则下,当依次取时,对应的实数排成一列数这列数就称为数列,记为.从定义看到,数列可以理解为定义域为正整数集的函数当自变量依次取1,2,3,…等一切正整数时,对应的函数值就排列成数列.数列(1-1)中的第个数称为数列的第项或通项.定义1.2.1:如果数列的项数无限增大时,它的通项无限接近于某一个确定的常数,则称是数列的极限,此时也称数列收敛于,记作定义1.2.2:如果数列的项数无限增大时,它的通项不接近于任何确定的常数,则称数列没有

5、极限,或称数列发散.注意:当无限增大时,如果无限增大,则数列没有极限.这时,习惯上也称数列的极限是无穷大,记作函数的极限2定义1.2.3:如果当无限增大(即)时,函数无限趋近于一个确定的常数,那么就称当时存在极限,称数为当时函数的极限,记作1、当时函数的极限函数的自变量是指的绝对值无限增大,它包含以下两种情况:(1)取正值,无限增大,记作;(2)取负值,它的绝对值无限增大(即无限减小),记作.例1.2.1讨论函数当和时的变化趋势.解作出函数的图像(如上图所示).由图可以看出,当和时,,因此当时,.例1.2.2作出函数和的图形,并判断下列极限:解分别作出函数和的图形(如图下所示).由图形可以看出

6、:例1.2.3讨论下列函数当时的极限:(1);(2).解(1)函数的图形如图所示.从图形可知,当时,;当时,.因此,当无限增大时,函数无限地接近于常数1,即.(2)函数的图形如图所示.从图形可知,当时,;当时,.因此,当无限增大时,函数不可能无限地趋近某一个常数,即不存在.理论上可以证明:与的情形类似,包含从大于的方向和从小于的方向趋近于两种情况,分别用:(1)表示从大于的方向趋近于;(2)表示从小于的方向趋近于.2、当时,函数的极限定义1.2.4:设函数在点的某个去心领域内有定义,如果当时,函数无限趋近于一个确定的常数,那么就称当时存在极限;数就称为当时函数的极限,记作说明:在数轴上,以点为

7、中心的任何开区间称为的领域.设为一正数,则开区间就是的一个领域,称为点的领域,如左图所示,记,即,其中称为该领域的中心,称为该领域的半径.在上述领域中除去领域的中心点称为点的去心领域,记为,即，如右图所示.注意:在定义中,“设函数在点的某个去心领域内有定义”反映我们关心的是函数在点附近的变化趋势,而不是在这一孤立点的情况.在定义极限时,有没有极限,与在点是否有定义并无关系.例1.2.4求下列极限解