2009届全国名校真题模拟专题训练9-立体几何解答题2（数学）.doc

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1、2009届全国名校真题模拟专题训练09立体几何三、解答题(第二部分)31、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。（1）解：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB。∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴CD⊥AB。又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB。（2）解法一：取AB的中点E，连结CE、DE。∵PC＝AC＝2，∴CE⊥PA，CE＝∵CD⊥平面PAB，由三垂线定

2、理的逆定理，得DE⊥PA。∴∠CED为二面角C—PA—B的平面角。由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC＝（2）解法二：∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA，则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）。…………6分设平面PAB的法向量为得…………8分设平面PAC的法向量为，解得…………10分…………11分…………12分（2）解法三：∵CD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量。取AC中点F，∵AB＝BC＝，∴BF⊥AC，又PC⊥平面ABC，有平面PAC⊥

3、平面ABC，∴BF⊥平面PAC，∴是平面PAC的一个法向量。…………7分…………9分…………10分32、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1，⑴求证：平面BEF⊥平面DEF；⑵求二面角A－BF－E的大小。解法1：⑴①证明:∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2；在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点，∴

4、FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，DE＝BE＝，由勾股定理知DF⊥EF，BF⊥EF，∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，∴平面BEF⊥平面DEF………………（6分）⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。易求得，；在Rt△中，可求得，∴在△中，由余弦定理求得，∴……………………………（12分）解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；建立

5、如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则,,,,∴，，…(2分)设平面BEF、平面DEF的法向量分别为，则①②，③,④.由①③③④解得,∴,…（4分）∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF…………（6分）⑵设平面ABF的法向量为，∵，∴，，解得∴，………（8分）∴……（10分）由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为33、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.DPEABC（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角；（Ⅲ）求点到平面的距离.解法一：（Ⅰ）设与交点为，延长交的

6、延长线于点，则，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴又∵底面，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面…………………………………（4分）（Ⅱ）连结，过点作于点，则由（Ⅰ）知平面平面，且是交线，根据面面垂直的性质，PEABDCHF得平面，从而即为直线与平面所成的角.在中，，在中，.所以有，即直线与平面所成的角为…………………………………（8分）（Ⅲ）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即.在中，，从而点到平面的距离等于………………………………………………（12分）解法二：如图所示，以点为坐标原点，PEABDCzxy直线分别为轴，建立空间直角坐标系

7、，则相关点的坐标为，，，.（Ⅰ）由于，，，所以，，所以，而，所以平面，∵平面，∴平面平面……………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设是平面的一个法向量，则，由于，，所以有，令，则，即，再设直线与平面所成的角为，而，所以，∴，因此直线与平面所成的角为………………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，而，所以点到平面的距离为34、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)如图，已知四棱锥的底面是正方形，⊥底面，且，点、分别在侧棱、上，且（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）若，求平面与平面的所成锐二面角的大小解：（Ⅰ）因为四棱锥P—ABCD的

8、底面是正方形，PA⊥底面ABCD，则CD⊥侧面PAD又又……………5分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系又P