初三数学旋转、圆学生版.doc

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1、旋转变换1.旋转变换的概念：在平面内，将一个图形G绕着一个定点O沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一定的角度，得到另一个图形G’，这样由图形G到图形G’的图形变换叫做旋转。这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角。三要素注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。2.旋转变换的性质：（1）旋转前、后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等(意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上)（3）对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等，他们都等于旋转角。三等3.旋转变换的作图：四部曲（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2）找出能确定

2、图形的关键点；（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们转动一个固定的角度，得到此关键点的对应点；（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形。提问：一定的角度的范围？4.旋转对称图形：如果某图形绕着某一定点旋转一定角度（大于0°小于360°）后能与自身重合,那么这种图形就叫做旋转对称图形。特殊应用：求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系、求函数解析式解题关键：要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等等【例题详解】例1、图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片AB

3、C和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△

4、ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠ACC′=α（30°＜α＜90°）（图4）；探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.（4分）例2．将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。（1）将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点，求证：；（2）将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），点与AB的交点。线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中

5、线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结，求证：⊥AB.图1例3．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1.将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动.图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数

6、n=时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（2）若k=2，则n=时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n=时，顶点P第一次回到原来的起始位置.图2（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.例4．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？

7、并结合图②加以证明。（2）三角板绕点P旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。图1图2例5、已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.①设AB的长为a，PB的长为b（b

8、；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.圆综合复习【知识重点】1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平