2010全国高中数学联赛大纲(附初中大纲).doc

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1、2010年全国高中数学联赛大纲1、平面几何  基本要求:掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。  补充要求:面积和面积方法。  几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。  几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。  几何不等式。  简单的等周问题。了解下述定理:  在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。  在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。  在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。  在面积一定的简单闭曲线的集

2、合中,圆的周长最小。  几何中的运动:反射、平移、旋转。  复数方法、向量方法。  平面凸集、凸包及应用。2、代数  在一试大纲的基础上另外要求的内容:  周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。  三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。  第二数学归纳法。  递归,一阶、二阶递归,特征方程法。  函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。  n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。  复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定理,单位根,单位根的应用。  圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。  一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,

3、实系数方程虚根成对定理。  简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。3、立体几何  多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。  正多面体,欧拉定理。  体积证法。  截面,会作截面、表面展开图。4、平面解析几何  直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。  二元一次不等式表示的区域。  三角形的面积公式。  圆锥曲线的切线和法线。  圆的幂和根轴。5、其它  抽屉原理。  容斥原理。  极端原理。  集合的划分。  覆盖。 

4、 梅涅劳斯定理  托勒密定理  西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。赛瓦定理及其逆定理。附:初中数学竞赛大纲(2006年修订试用稿)1.数  整数及进位制表示法,整除性及其判定。  素数和合数,最大公约数与最小公倍数。  奇数和偶数,奇偶性分析。  带余除法和利用余数分类。  完全平方数。  因数分解的表示法,约数个数的计算。  有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。2.代数式  综合除法、余式定理。  因式分解。  拆项、添项、配方、待定系数法。  对称式和轮换对称式。  整式、分式、根式的恒等变形。  恒等式的证明。3.方程和不等

5、式  含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法,一元二次方程根的分布。  含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法。  含字母系数的一元一次不等式的解法,一元二次不等式的解法。  含绝对值的一元一次不等式。  简单的多元方程组。  简单的不定方程(组)。4.函数  y=

6、ax+b

7、,及的图象和性质。  二次函数在给定区间上的最值,简单分式函数的最值。  含字母系数的二次函数。5.几何  三角形中的边角之间的不等关系。  面积及等积变换。  三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质。  相似形的概念和性质。  圆,四点共圆,圆幂定理。  四种命题及其关系。

8、6.逻辑推理问题  抽屉原理及其简单应用。  简单的组合问题。  简单的逻辑推理问题,反证法。  极端原理的简单应用。  枚举法及其简单应用。

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