行列式的基本性质.ppt

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1、§2.4行列式的基本性质直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为简化。转置行列式：把n阶行列式的第i行变为第i列（i=1，2，…，n）所得的行列式称为D的转置行列式，用表示。性质1：行列式D与它的转置行列式相等。（转置变换）证：考察D的任意项—（1）它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积，因而也是取自的第行，1，2，…，n列的n个元素的乘积，因而也是中的一项:—（2）。（1）项所带的符号是,(2)项所带的符号也是。因而D中的任一项均为中的项而且所带的符号也相同。同理可知中的任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D=性质1表

2、明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行成立的性质，对列也同样成立。性质2：把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常数k，相当于用数k乘这个行列式，即（倍法变换）证明：推论1：一个行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提到行列式的符号外面。推论2：如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个行列式等于零。在性质2中，取k=0，即知结论成立。性质3：交换行列式D中的某两行（列），行列式变号。（换法变换）即设则有：证：取D中任一项：—（1）它所带的符号是：，显然也是中的一项，它所带符号为：。由于对换改变排列的奇偶性，故D中的任一项与中对应项刚好相差一个符号，故推论3：如果行列式

3、中有两行（列）的元素对应相同，则这个行列式等于零。（交换这两行（列）即知）推论4：如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则这个行列式等于零。（利用性质2和推论3）性质4：如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即（拆法变换）证明：性质5：把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一个数k再加到另一行（列）的对应元素上，所得行列式与原行列式相等。（消法变换）即利用性质4和推论4即知。例2.4.1计算行列式例2.4.2计算行列式定理2.4.1：任一个n阶行列式都可以利用性质5中的行或列变换化为一个与其相等的上（下）三角行列式。证明：设1、先设D

4、中第一列元素不全为零，若则把第i行所有元素同乘1加到第一行上，则故不妨设把第一行依次乘以后分别加到第2行，…，第n行，则—（1）若D中第一列元素全为零，则D已经是（1）的形式。现对（1）中第二列的进行考虑，同上类似，先设它们不全为零，不妨设，则利用上面相似的方法，可得仿此不断进行下去，就可把D化为上三角行列式。例2.4.3计算n阶行列式解法一：法二：在一个n阶行列式中，若有，则称为n阶对称行列式；若有则称为反对称行列式。例2.4.4奇数阶的反对称行列式等于0。证明：设为奇数阶的反对称行列式。由于得于是例2.4.5(思考题)计算n阶行列式