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1、辽宁师范大学计算机与信息技术学院数字图像处理的信号基础宋传鸣第五章连续时间信号的数字处理将连续信号变成数字信号是在计算机上实现信号数字处理的必要步骤连续时间信号的抽样设是连续时间信号,在t=nT时均匀抽样得到序列g[n]T称为抽样周期,T的倒数为抽样率FT,即FT=1/T的连续时间傅里叶变换g[n]的离散时间傅里叶变换与的关系？抽样在频域中的效应抽样运算在数学上表示为和周期冲激序列p(t)的乘积相乘后产生一个冲激序列抽样在频域中的效应由CTFT的时移特性,平移冲激函数的CTFT为则有由傅里叶变换的调制定理,p(t)为周期为T的序列,展开成傅里叶级数为其中抽样在频域中的效应p(t)可
2、展开成因此有将上式代入到调制定理公式中,有抽样在频域中的效应是频率的一个周期函数,由通过平移和幅度缩放得到的各频谱分量之和组成的平移的整数倍并且幅度缩放1/Tk=0的项称为的基带部分,其它项称为频率平移部分频率范围称为基带或奈奎斯特频带抽样在频域中的效应抽样信号的重构抽样在频域中的效应频率混叠:基带相邻的平移分量一部分翻褶回去或者混叠到基带中,不可能通过滤波分离来恢复出称为折叠频率或奈奎斯特频率抽样在频域中的效应设ga(t)是一个带限信号,当时,有.若则ga(t)可以通过它的抽样ga(nT)唯一地确定,.其中,给定{ga(t)},可以通过产生一个冲激序列gp(t),并把通过一个增益
3、为T且截止频率大于小于的理想低通滤波器来完全恢复ga(t)包含在ga(t)中的最高频率通常称为奈奎斯特频率,用来确定最小的抽样率以保证从ga(t)的抽样数据中完全恢复信号.频率称为奈奎斯特率抽样定理奈奎斯特条件不同频率模拟正弦信号的抽样效应考虑三个正弦信号:它们的傅里叶变换分别为抽样定理不同频率模拟正弦信号的抽样效应对三个纯正弦信号以速率T=0.1s进行抽样,即抽样率为20*PIrad/s,则截止频率为抽样率的一半,即抽样定理若抽样率高于奈奎斯特率,则抽样运算称为过采样若抽样率低于奈奎斯特率,则抽样运算称为欠采样若抽样率等于奈奎斯特率,则抽样运算称为临界采样(CriticalSam
4、pling)典型抽样率数字电话的带宽为3.4kHz,抽样率为8kHz光盘CD音乐系统的带宽为20kHz,抽样率为44.1kHz数字图像的下采样抽样定理例:对连续时间信号进行不同抽样率的抽样连续时间信号为信号的带宽大约为1Hz分别以1Hz,2Hz和4Hz进行采样抽样定理示例若离散时间序列g[n]以的抽样率对最高频率为的带限连续时间信号ga(t)均匀抽样,则可以将抽样得到的冲激序列gp(t)通过一个截止频率为、增益为T的理想低通滤波器来恢复出原始的连续时间信号.低通滤波器的定义为对进行连续时间傅里叶逆变换,可得其冲激响应由于,则有模拟信号的恢复回顾冲激序列gp(t)为理想低通滤波器的输
5、出等于gp(t)和模拟重构滤波器的冲激响应的卷积假设,可得低通滤波器的冲激响应在时间上平移nT并且在幅度上乘以对应整数n的序列值g[n],再将所有平移项求和即可得到重构的连续时间信号模拟信号的恢复当时,对于,有且,则对于所有的整数值r,都有当且仅当抽样率满足抽样定理时,对于所有的t值才有理想低通滤波器具有双边带无限冲激响应,它是不稳定和非因果的,并且没有一个有理传输函数,在物理上不可实现模拟信号的恢复对于,只要将抽样信号通过一个通带中心频率为的理想模拟带通滤波器即可恢复出基带外的任何频移分量例:以抽样率10Hz对g1(t)进行抽样,并将抽样序列通过通带为5~10Hz的带通重构滤波器
6、抽样过程的含义对于,只要将抽样信号通过一个通带中心频率为的理想模拟带通滤波器即可恢复出基带外的任何频移分量例:以抽样率10Hz对g1(t)进行抽样,并将抽样序列通过通带为5~10Hz的带通重构滤波器例:要恢复,需要使用如下频率响应的带通滤波器例:可以将和通过一个合适的理想带通滤波器恢复出任何一个频移分量抽样过程的含义欠抽样效应示例以10Hz抽样率对频率为13Hz的连续时间信号进行均匀抽样,再通过一个通带截止频率为5Hz的模拟低通重构滤波器该信号只有通过一个通带为10~15Hz的带通滤波器才能完全恢复出原始高频信号抽样过程的含义将抽样信号通过带宽大于且小于等于的一个合适的模拟低通或带
7、通滤波器,可以恢复出原始的连续时间信号或其任何频率分量,只要被抽样信号的频谱带限在频率范围内就不会引起混叠失真抽样过程的含义在某些应用中,带限的连续时间信号可能处于更高的频率范围中,其中,这样的信号称为带通信号可用大于两倍最高频率的抽样率对带通连续时间信号进行抽样,即通过保证令为带通信号的带宽,并假设是带宽的整数倍,即.选择抽样率满足条件此时,抽样信号的傅里叶变换为带通信号的抽样滤波器特性通带和阻带的幅度响应特性不可能是恒定的,通带和阻带之间还需要一个过渡带,允许幅度
