-初等函数连续性.doc

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1、§3初等函数连续性(一)教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性．(二)教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性．基本要求：(1)掌握初等函数的连续性．(2)掌握指数函数的严格定义．(三)教学建议：(1)本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．(2)本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．————————————————————————————从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有理指数幂函数，都是定义域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指

2、数幂函数在其定义域内的连续性，以及初等函数在其定义域内的连续性。一指数函数的连续性在第一章中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数在上是严格单调的.下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到指数幂,然后证明指数函数的连续性。先回忆一下指数的定义和相应的结论：在中学讲过，为有理数情况的定义：和指数的运算性质：，（1）第一章给出了为无理数时的定义，这样，对任意实数，都有了定义：自然要问：对于指数为一般实数的情况，运算性质（1）是否还成立呢？下面的定理就回答了这个问题。定理4.10设为任意实数，则有证明定理之前先回顾

3、一下，第一章讲过的几个结论：1）时是严格递增的；是严格递减的。2）确界的定义：：i)（是上界）;ii)，使得（是最小上界）定理的证明不妨设，先证由指数的定义由上确界的定义，，使得，使得，（有理数，）因为，由刚才回顾的结论：时是严格递增的由的任意性再相反的不等式：由，使得记，由有理数的稠密性，存在有理数，使得，由的任意性定理4.11指数函数在R上是连续的.证明先设.有第三章§2例4知，这表明在连续.现任取.由定理4.10得.令则当时有,从而有.这证明了在任一点处连续.当时,令,则有,而可看作函数与的复合，所以此时亦在上

4、连续。□利用指数函数的连续性，以及第三章§5例4中已证明的，可知的值域为（）(时也是如此).于是的反函数—对数函数在其定义域()内也连续.例1设.证明.证明补充定义,则连续,从而知在连续,所以在连续.由此得.二初等函数的连续性由于幂函数（为实数）可表为，它是函数与的复合，故有指数函数与对数函数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数在其定义域（）上连续。前面已经指出，常函数，三角函数，反三角函数都是定义域上的连续函数.因此我们有下述定定理4.12一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数.由于任何初等函数都是由基本初等

5、函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,所以有定理4.13任何初等函数都是定义域上的连续性函数.例1求解利用对数函数的连续性，例2求解由于是初等函数定义域内的点，利用初等函数连续性，例3作倒代换例4解I=例5解I=