实变函数对等与基数.ppt

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1、第二节对等与基数第一章集合及其基数定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射，记作f:X→Y。X称为f的定义域。１映射的定义当映射f使y与x对应时，y称为x在映射f下的像。像的全体组成值域。对于某一固定的y，称适应关系y=f(x)的x的全体是元素y在映射f下的原像。注：模糊集：参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh例12、实数的加法运算+:R×R→R1、定积分运算为从[a,b]上的可积函数集到实数集的映射。3、集合A的特征函数（

2、集合A与特征函数互相决定）称为集A的特征函数，定义2：设X,Y是两个非空集合，集合X到集合Y上的一一映射f满足：(1)单射：(2)满射：既是单射又是满射的映射称为双射或一一映射。2集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（原像集）注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且仅当f为满射证明的过程略3对等与势1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定1,2,3,4,5

3、,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...例2有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例2Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.基数的大小比较4Bernstein定理例：由可知，试问如何构造两者间的既单又满的映射。B

4、ernstein定理的证明fλBernstein定理的证明证明:ABgfBernstein定理的证明（续）ABggfffABfgffgBernstein定理的证明（续）Bernstein定理的证明此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.