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1、一实数及其性质［问题］有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此我们规定:实数对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．例：于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？2实数大小的比较定义1给定两个非负实数其中为非负整数,为整数,若有1)若则称x与
2、y相等,记为2)若存在非负整数l,使得(k=0,1,2,…l),而则称x大于y(或y小于x),分别记为或规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数x,y若按定义1有则称比较两个实数大小的等价条件为非负实数，称有理数为实数x的n位不足近似，而有理数称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,···定义2设对于负实数x的n位不足近似值规定为：x的n位过剩近似值规定为：例如:则1.4,1.41,1.414,1.4142,…为的1位,2位,3位,4位不足近似值。1.5,1.42,1.415,1.4143,…为的1位,2位,3位
3、,4位过剩近似值。实数有如下一些主要性质2实数集是有序的，即任何两个实数a,b,必满足下述3实数大小关系具有传递性，即若a＞b，b＞c,则有a＞c.4实数具有Achimedes性，即对任何5实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数。实数集R与数轴上的点有着一一对应关系。三个关系之一：1实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的.例2证明.,:,,babaRba£+<Î则有若对任何正数证明设ee..,,..bababababa,£+<+=-=>从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据
4、实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee二.绝对值与不等式实数a的绝对值定义a0-a２.几何意义：从数轴看,数的绝对值就是点到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，表示就是数轴上点与之间的距离.３．性质．１）（非负性）；２）；３）；４）对任何有（三角不等式）；５）６）性质4（三角不等式）的证明：对任何有4.几个重要不等式:⑴⑵对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式:(等号当且仅当时成立).⑶Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)对§2数集.确界原理一区间与邻域:无限区
5、间邻域去心邻域此外,我们还常用到以下邻域二、有界集 确界原理定义1设S为R中的一个数集。若存在数M(L),使得对一切x∈S,都有x≤M（x≥L）,则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界（下界）.若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集，则称S为无界集。若数集S有上界，显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S的上确界。同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界下面给出数集的上确界和下确界的定义。说明
6、:Sηx1x2x3x4x5xnax0上、下确界的另一精确定义定义设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1）对一切有即是数集S的上界；（2）对任意存在使得（即η是S的最小上界）则称数η为数集S的上确界。heh-0x记作xex+S定义设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1）对一切有即是数集S的下界；（2）对任意存在使得（即是S的最大下界）则称数为数集S的下确界。记作思考题:[0,1]的上下确界分别等于几?(0,1)中的无理数构成的集合呢?例2设S=｛x
7、x为区间(0,1)中的有理数｝,试按上下确界的定义验证
8、:supS=1,infS=0.证先验证supS=1(1)对一切x∈S,显然有x≤1,即1是S的上界.(2)对任何α＜1,若α＜0,则任取x0∈S都有x0＞α;若α＞0,则有有理数在实数集中的稠密性,在(α,1)中必有有理数x0,即存在x0∈S,使得x0＞α.类似地可以验证infS=0注:(1)由上（下）确界的定义可知,若数集S存在上（下）确界,则一定是唯一的;(2)若数集S存在上、下确界，则有infS≤supS;(3)数集S的确界可能属于S也可能不属于S。例3设数集S有上确界,证明的充要条件是证必要性设则对一切x
9、∈S,有而故是数集S中的最大数,即充分性设则下面验证(1)对一切x∈S,有x≤,则从而满足(2)对任何只须取的定义.是S的上界;即定理1.1（确界原理）设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。（证略）注意：确界原理是极限理论的基础，应很好地去理解和消化。例4设A，B为非空数集，满足：对一切x∈A和y∈B有x≤y。证明数集A有上确界，数集B
