高考数学总复习板块命题点专练(十) 立体几何.doc

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1、板块命题点专练(十)立体几何命题点一 空间几何体的三视图及表面积与体积1.(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(  )A.2B.4C.6D.8解析:选C 由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形,高为2的直四棱柱,直角梯形的两底边长分别为1,2,高为2,∴该几何体的体积为V=×(2+1)×2×2=6.2.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点

2、为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  )A.2B.2C.3D.2解析:选B 先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.∵ON=×16=4,OM=2,∴MN===2.3.(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(  )A.1B.2C.3D.4解析:选C 由三视图得到空间几何体的直观图如图所示,则PA⊥平面ABCD,四边形

3、ABCD为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC.又BC⊥AB,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.在△PCD中,PD=2,PC=3,CD=,所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△PAB,△PAD,△PBC,共3个.4.(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )A.60B.30C.20D.10解析:选D 如图,把三棱锥ABCD放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD为直角三角形,直角边分别为5和

4、3,三棱锥ABCD的高为4,故该三棱锥的体积V=××5×3×4=10.5.(2018·天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥MEFGH的体积为______.解析:连接AD1,CD1,B1A,B1C,AC,因为E,H分别为AD1,CD1的中点,所以EH∥AC,EH=AC,因为F,G分别为B1A,B1C的中点,所以FG∥AC,FG=AC,所以EH∥FG,EH=FG,所以四边形EHGF为平行四边形,又EG=HF,EH=HG,

5、所以四边形EHGF为正方形,又点M到平面EHGF的距离为,所以四棱锥MEFGH的体积为×2×=.答案:6.(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.解析:如图,∵SA与底面成45°角,∴△SAO为等腰直角三角形.设OA=r,则SO=r,SA=SB=r.在△SAB中,cos∠ASB=,∴sin∠ASB=,∴S△SAB=SA·SB·sin∠ASB=×(r)2×=5,解得r=2,∴SA=r=4,即母线长l

6、=4,∴S圆锥侧=πrl=π×2×4=40π.答案:40π命题点二 组合体的“切”“接”问题1.(2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为(  )A.12B.18C.24D.54解析:选B 由等边△ABC的面积为9,可得AB2=9,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d===2.所以三棱锥DABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥DABC体积

7、的最大值为×9×6=18.2.(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.解析:由正方体的表面积为18,得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R,则2R=3,R=,所以这个球的体积为πR3=×=.答案:3.(2017·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.解析:设球O的半径为R,因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切

8、,所以圆柱的底面半径为R、高为2R,所以==.答案:命题点三 直线、平面平行与垂直的判定与性质1.(2018·全国卷Ⅲ)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.解:(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线

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