高考数学总复习板块命题点专练(五) 导数及其应用.doc

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1、板块命题点专练(五)导数及其应用命题点一 导数的运算及几何意义1.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )A.y=-2x        B.y=-xC.y=2xD.y=x解析:选D ∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax,∴f′(x)=3x2+2(a-1)x+a.又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)恒成立,即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,∴a=1,∴f′(x)=3x2+1,∴f′(0)=1,∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的

2、切线方程为y=x.2.(2018·全国卷Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为________.解析:∵y=2ln(x+1),∴y′=.令x=0,得y′=2,由切线的几何意义得切线斜率为2,又切线过点(0,0),∴切线方程为y=2x.答案:y=2x3.(2018·全国卷Ⅲ)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=________.解析:∵y′=(ax+a+1)ex,∴当x=0时,y′=a+1,∴a+1=-2,解得a=-3.答案:-3命题点二 函数单调性、极值、最值1.(2017·浙江高考)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)

3、的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(  )解析:选D 由f′(x)的图象知,f′(x)的图象有三个零点,故f(x)在这三个零点处取得极值,排除A、B;记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1,x2,x3,又在(-∞,x1)上f′(x)<0,在(x1,x2)上f′(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x1)上单调递减,排除C,故选D.2.(2017·全国卷Ⅱ)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(  )A.-1          B.-2e-3C.5e-3D.1解析:选A 因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1

4、,所以f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f′(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f′(x)>0,解得x<-2或x>1,令f′(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1.3.(2013·浙江高考)已知e为自然

5、对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(  )A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值解析:选C 当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),0,1是函数f(x)的零点.当0<x<1时,f(x)=(ex-1)(x-1)<0,当x>1时,f(x)=(ex-1)(x-1)>0,1不会是极值点.当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,零点还是0,1,但是当0<x<1,x>1时,f(x)>0,由极值的概

6、念,知选C.4.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是________.解析:f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).∵cosx+1≥0,∴当cosx<时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当cosx>时,f′(x)>0,f(x)单调递增.∴当cosx=时,f(x)有最小值.又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),∴当sinx=-时,f(x)有最小值,即f(x)min=2××=-.答案:-5.(2

7、018·江苏高考)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为________.解析:法一:f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(x>0).①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上无零点.②当a>0时,由f′(x)>0,得x>;由f′(x)<0,得0<x<,∴f(x)在上单调递减,在上单调递增.又f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f=-+1=0,∴a=3.此时f(x)=2x3

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