2020版高考数学第7章立体几何第6节立体几何中的向量方法教学案含解析理.doc

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1、添加微信：gzxxzlk或扫描下面二维码输入高考干货领取更多资料资料正文内容下拉开始>>第六节　立体几何中的向量方法[考纲传真]　能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角〈a，b〉l1与l2所成的角θ范围0＜〈a，b〉＜π0<θ≤关系cos〈a，b〉＝cosθ＝

2、cos〈a，b〉

3、＝2.直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

4、cos〈a，n〉

5、＝

6、.3．二面角更多资料关注公众号@高中学习资料库(1)如图①，AB，CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

7、cosθ

8、＝

9、cos〈n1，n2〉

10、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为

11、

12、＝.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．

13、()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．()[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A.B.πC.或πD.或πC　[∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，∴m·n＝1，

14、m

15、＝1，

16、n

17、＝，更多资料关注公众号@高中学习资料库∴cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝.∴两平面所成的二面

18、角为或π，故选C.]3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A.B.C.D.A　[以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设AB＝2，则N(1,0,0)，D1(0,0,2)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，∴＝(－1，－1，－2)，＝(1,0，－2)，∴·＝－1＋4＝3，

19、

20、＝，

21、

22、＝，∴cos〈，〉＝＝＞0，∴B1M与D1N所成角的余弦值为.故选A.]4．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－更多资料关注公众号@高中学习资料库

23、，则l与α所成的角为________．　[设l与α所成的角为θ，则sinθ＝

24、cos〈m，n〉

25、＝，又θ∈，∴θ＝.]5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．45°　[如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.∴＝(0,1,0)，＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°.故平面

26、PAB与平面PCD所成的二面角为45°.]求异面直线所成的角1．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.C　[在平面ABC内过点B作AB的垂线，以B为原点，以该垂线，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则A(0,2,0)，B1(0,0,1)，C，C1，＝(0，－2,1)，＝，cos〈，〉＝＝更多资料关注公众号@高中学习资料库＝，故选C.]2.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠

27、BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．[解]　(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)．所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)．设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝.即PB与AC所成角的余弦值

28、为.更多资料关注公众号@高中学习资料库[规律方法]　用向量法求异面直线所成角的一