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《2020版高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法讲义 理（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第7讲 立体几何中的向量方法[考纲解读] 1.理解直线的方向向量及平面的法向量，并能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点)2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理，并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容．预测2020年高考将会以空间向量为工具，证明平行与垂直以及求空间角的计算问题．试题以解答题的形式呈现，难度为中等偏上.1．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2⇔v1＝λ
2、v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u⇔v·u＝0.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2⇔u1＝λu2.2．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u⇔v＝λu.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔
3、u1·u2＝0.3．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则4．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝
4、cosθ
5、＝，φ的取值范围是.5．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
6、cosθ
7、＝
8、cos〈n1，n2〉
9、＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补
10、角)1．概念辨析(1)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( )(2)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( )(3)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(4)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．小题热身(1)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交答案 B解析
11、因为a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，所以n＝－2a，所以a∥n，所以l⊥α.(2)已知向量＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是( )A.B．C．±D．±答案 D解析 设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，则取z＝1，得x＝，y＝－1.则n＝，
12、n
13、＝，故平面ABC的单位法向量是±.(3)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )A．60°B．75°C．90°D．105°答案 C解析 取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则B，C1，A，B1，从而＝，＝
14、.所以cos〈，〉＝＝0，所以AB1与C1B所成的角为90°.故选C.(4)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________，二面角B－A1C1－D1的余弦值为________．答案 －解析 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，∴＝(0,2,0)，＝(－1，2,0)，＝(0,2，－1)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由即令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则
15、sinθ＝
16、cos〈，n〉
17、＝＝＝，即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.易知平面A1C1D1的法向量m＝(0,0,1)，∴cos〈m，n〉＝＝＝.由图可知，二面角B－A1C1－D1为钝角，故二面角B－A1C1－D1的余弦值为－.题型 利用空间向量研究空间中的位置关系角度1 利用空间向量证明平行与垂直问题1．(2018·青岛模拟)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，AA1⊥平面BAC.求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明 ∵AA1⊥平面BAC.∴AA1
18、⊥AB，A
