资源描述：
《2018年高考数学(理)一轮复习学案：第7章立体几何第7讲立体几何中的向量方法(含答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第7讲立体几何中的向量方法课本遍故•追根求源教材回顾▲夯实基础1.空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线日，力的方向向量分别为a，b,其夹角为(),则cos0=
2、cos0
3、=舒着(其中0为异面直线日，"所成的角).(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线/的方向向量为e，平面。的法向量为力，直线/与平面。所成的角为氛两向量£与刀的夹角为久则有sin2
4、c°s心童•(3)求二面角的大小乳如图①，AB,切是二面角Q10两个半平面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小6=〈菇，翔.«i①②b.如图②③，Z2i,屁分别是二面角a10的两个半平面a,0的
5、法向量，贝IJ二面角的大小0满足COS0=COS〈力:,忌〉或—COS〈力1,处〉.1.点到平面的距离的求法如图，设加为平面a的一条斜线段，刀为平面°的法向量，则点〃到平面Q的距离要点整會卩辨明两个易误点(1)求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得岀答案而忽视了夹角范圉为JT■r•(2)求直线与平面所成角时，注意求出两向量夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值.双基自测1.已知向量皿力分别是直线/和平面a的方向向量和法向量，若cos5,n)=—I，则/与a所成的角为()B.60°D.150°A.30°C.120°A由于cos5,n)=—£所以5，n)=120°.所
6、以直线/与。所成的角为30。・2.己知两平面的法向量分别为227=(0,1,0),/7=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°CCOS<227,77)I1^11X^/22即5,ri)=45°•所以两平面所成二面角为45°或180。-45°=135°•3.已知水1,0,0),1,0),0(0,0,1),则平UJ-ABC的一个单位法向量是()A.C.D.D因为J(l,0,0),〃(0,1,0),0(0,0,1),所以应=(一1,1,0),花=(一1,0,1).经验证，当力爭¥用时,n・為=平—習+0=0,n・花=平+0一
7、平=0所以(-平'—平，—割是平面力％的一个单位法向量•4.已知正方体ABCI>AB.CD如图所示，则直线5〃和所成的角为以〃为原点，AB.AD.加：分别为才、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则石=(一1,0,1),页7=(—1,1,-1),cos〈厉，丽〉=芋：彩=0,所以两直线所成的角为90°•90°5.正四棱锥S・ABCD中，0为顶点S在底面上的射影，Q为侧棱SZ?的中点，且SO=OD,则直线比与平面刃C所成的角是如图所示，以0为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则水日，0,0),MO,a,0),C(~a,0
8、,0),0,则CA=(2^0,0),aa日，2,CB=&a,0)•~CB-n设平而刊Q的法向量为刀，易知可取27=(0,b1),贝ijcos(CByn)—=I.>产=石.CB\妬72所以〈励，n)=60°,所以直线滋与平面刃C所成的角为90°-60°=30°・30°名师导悟•以例说法T典例剖析▲突破考点考点1异面直线所成的角例1（2015•高考全国卷I）如图，四边形加匕7为菱形，Z血乞=120°,E,尸是平面畀救同_侧的两点，滋丄平而/1BC必丄平而MCD,BE=2DF,AELEC.（1）证明：平面九丄平而MFC；（2）求直线/IF与直线防所成角的余弦值.【解】
9、⑴证明：如图，连接血设BDCAC=G,连接％,FG,ER在菱形血匕9屮，不妨设GB=.由ZABC=120°,可得AG=GC=£.由处、丄平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AEIEC,所以EG=£,且EGLAC.在Rt△肪6*中，可得处故乎.在Rt△甩疋中，可得阳=斗-.在直角梯形跑应中，由BD=2,BE=dDF=^,可得莎=上£.从而EC+FCuEF,所以M丄FG又ACCFG=G,所以少丄平面处匕因为％u平而犹所以平面犹CL平面4/C（2）如图，以6•为坐标原点，分别以宓花的方向为/轴，y轴正方向，丨亦I为单位长度，建立空间直角坐标系Qyz.由⑴可得力（0,一
10、萌,0）,Ml,0,谑），所以直线肋与直线彷所成角的余弦值为平.当异而直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.2跟踪训练如图，在四棱锥P-ABCD中，刃丄平面〃磁，底面/1财是菱形，AB=2,Z刃〃=60°.（1）求证：肋丄平面丹C；⑵若PA=AB,求刖与化所成角的余弦值.（1）证明：因为四边形力磁是菱形，所以ACA.BD,因为/%丄平而肋仞，所以必丄血.又因为AC^PA=A,所以弘丄平面⑵设ACCBD=0.因为ZBAD=60°,PA=AB=2
