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1、集合与函数概念1.1集 合1.1.4集合的综合问题基础梳理1．集合在数学中有广泛应用，在函数、不等式、立体几何中都有重要的应用．2．利用集体可以更深入理解数学相关概念，如：函数概念、点与平面关系、平面与平面的关系等．3．解集合问题注意利用韦恩图、数轴等，数形结合有利于我们正确理解集合相关概念．思考应用1．空集是不含任何元素的集合对吗？2．全集是含有所有元素的集合对吗？3．平面看成是由在其上的所有点组成的集合对吗？答案：1．对2.不对3.对自测自评1．设全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{0,1,2}，B＝{1,2,4}，则(
2、∁UA)∩B＝()A．{3,4}B．{0,1,2,4}C．{4}D．{3}2．设集合A＝{x
3、0≤x≤4，x∈R}，B＝{x
4、2≤x≤6}，则∁R(A∪B)＝()A．RB．{x
5、0≤x≤6}C．{x
6、2≤x≤4}D．{x
7、x＜0或x＞6}3．举例说明等式：(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)成立；由此类推可以得出何种等量关系？CD解析：取U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，∁U(A∪B)＝{1,5}等式成立，类推可得：(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．集合的
8、图示及应用设全集为U，用集合A、B、C的交、并、补集符号表示图中的阴影部分答案：(1)(A∪B)∩∁U(A∩B)；(2)(∁UA∩∁UB)∩C；(3)(A∩B)∩∁UC.跟踪训练1．设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是()A．(∁IA)∪B＝IB．(∁IA)∪(∁IB)＝IC．A∩(∁IB)＝∅D．(∁IA)∩(∁IB)＝∁IB解析：由韦恩图知：故选B.答案：B集合交、并、补的综合运算设U＝{1,2,3,4,5}，A，B为U的子集，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{
9、1,5}，则下列结论正确的是()A．3∉A,3∉BB．3∉A,3∈BC．3∈A,3∉BD．3∈A,3∈B解析：画出韦恩图即可得到．答案：C跟踪训练2．设A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，求B.分析：由A∪(∁UA)＝U，确定全集U，则B可求．解析：∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．又∁UB＝{－1,0,2}，∴B＝{－3,1,3,4,6}．点评：解决与补集有关的问题时，应明确全集是什么，同时注意补集的有关性质：
10、∁U∅＝U，∁UU＝∅，∁U(∁UA)＝A等．分类讨论解集合问题已知A＝{2,4，a3－2a2－a＋7}，B＝{1，a＋3，a2－2a＋2，a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B＝{2,5}，求A∪B.分析：先由A∩B＝{2,5}，得出5∈A，从而求得a，进而求得A、B.解析：∵A∩B＝{2,5}，∴5∈A.∴a3－2a2－a＋7＝5解得a＝±1或a＝2.①若a＝－1，则B＝{1,2,5,4}，则A∩B＝{2,4,5}，与已知矛盾，舍去．②若a＝1，则B＝{1,4,1,12}不成立，舍去．③若a＝2，则B＝{1,5,2,25}符合题
11、意．则A∪B＝{1,2,4,5,25}．点评：关于集合的交、并的综合问题，通常可从已知交、并关系中找出集合中一定有或者一定没有的元素，然后讨论余下的元素，对它们要逐一加以检验．此类问题也可借助Venn图增加直观性．跟踪训练3．已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1,3a－2}，是否存在实数a，使得B⊆A？若实数a存在，求集合A和B；若实数a不存在，请说明理由．解析：因为B⊆A，故有3a－2＝3或3a－2＝a2.由3a－2＝3解得a＝；由3a－2＝a2，解得a＝1或a＝2，但是当a＝1时，a2＝1，此时A中有两个元素相同，故a＝
12、1应舍去．综上所述，存在实数a，且当a＝时，A＝，B＝{1,3}；当a＝2，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}．1．集合的元素要分清是数还是数组，甚至集合也可做元素．2．对于无明确元素的集合选择题可考虑将集合特殊化再分析．3．一个式子有多种运算应先内后外、先交后并的顺序进行．4．关于二次方程问题一定注意方程无解的情况．5．∁S(A∩B)＝(∁SA)∪(∁SB)，∁S(A∪B)＝(∁SA)∩(∁SB)．
