概率论习题三答案.doc

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1、习题三1甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为01230.40.30.20.101230.30.50.20若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？解：甲台机器一天的平均次品数乙台机器一天的平均次品数，而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。2某种电子元件的寿命（单位：）的概率密度为：求这种电子元件的平均寿命。解：利用两次分部积分，可得。3设随机变量的概率密度为解：因为是密度函数，所以即又两式联立可解得4设设随机变量的概率分布如下：-1012求解：5一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件

2、中任取一个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望，方差与标准差。解：设表示取得合格品以前已取出的废品数，则的概率分布为0123即01236设随机变量的分布函数为试确定常数，并求与。是奇函数，积分区间是对称区间，所以7设随机变量服从自由度为的分布，其概率密度为其中k为正整数，求的数学期望和方差。解：函数：令，所以令，所以8证明：函数当时取得最小值，且最小值为。提示：考虑要使最小，则后面加上的常数项就要最小，所以当时最小，最小值为，即。9某人的一串钥匙有把，其中只有一把能开自己的门

3、，他随意地试用这些钥匙，并且试用过的钥匙不再试用，求试用次数的数学期望与方差，提示：解：设随机变量表示试用次数，则的概率分布为所以10设随机变量在上服从均匀分布，，求。解：11在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量（单位：），它在上服从均匀分布。若每售出，可得外汇3万元。如果销售不出而积压，则需要浪费保养费1万元/t，问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？解：，则设随机变量表示平均收益，货源为s吨，由题意，要使取得最大值，则由二次函数的极值情况知当时，最大。12游客从电视塔的底层乘电梯到顶层

4、观光，电梯于每个整点后的第6分钟，第24分钟，第42分钟从底层上行。假设某游客在上午之间到达电视塔底层等候电梯处，到达的时刻是8点后的第分钟，且在区间上服从均匀分布。求该游客等候电梯的时间的数学期望。解：等候时间与到达时刻的关系有：所以13设随机变量相互独立，并且服从同一分布，数学期望，方差求这些随机变量的算术平均值的数学期望与方差。14计算泊松分布的三阶原点矩及三阶中心矩。解：三阶原点矩为：15设是随机变量，证明的充要条件是与不相关。所以与不相关；另一方面，若与不相关，则16设二维随机变量的概率密度为求并问

5、与是否相关，是否独立？为什么？，所以但与不独立，因为二者的联合密度不等于边缘密度的乘积。17设二维随机变量的概率密度为求（1）数学期望。（2）方差（3）协方差及相关系数解：18已知随机变量相互独立，且设求（1）数学期望（2）方差（3）19已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在7300，标准差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在之间的概率。解：设随机变量表示白细胞数，则20设随机变量服从幂-指分布，其概率密度为：利用切比雪夫不等式证明：令，由此得到积分的递推式：又所以