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时间:2020-03-10
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1、习题三1甲,乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为01230.40.30.20.101230.30.50.20若两台机器的日产量相同,问哪台机器较好?解:甲台机器一天的平均次品数乙台机器一天的平均次品数,而两台机器的日产量相同,所以乙台机器较好。2某种电子元件的寿命(单位:)的概率密度为:求这种电子元件的平均寿命。解:利用两次分部积分,可得。3设随机变量的概率密度为解:因为是密度函数,所以即又两式联立可解得4设设随机变量的概率分布如下:-1012求解:5一批零件中有9个合格品与3个废品,安装机器时从这批零件
2、中任取一个。如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望,方差与标准差。解:设表示取得合格品以前已取出的废品数,则的概率分布为0123即01236设随机变量的分布函数为试确定常数,并求与。是奇函数,积分区间是对称区间,所以7设随机变量服从自由度为的分布,其概率密度为其中k为正整数,求的数学期望和方差。解:函数:令,所以令,所以8证明:函数当时取得最小值,且最小值为。提示:考虑要使最小,则后面加上的常数项就要最小,所以当时最小,最小值为,即。9某人的一串钥匙有把,其中只有一把能开自己的门
3、,他随意地试用这些钥匙,并且试用过的钥匙不再试用,求试用次数的数学期望与方差,提示:解:设随机变量表示试用次数,则的概率分布为所以10设随机变量在上服从均匀分布,,求。解:11在国际市场上,每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量(单位:),它在上服从均匀分布。若每售出,可得外汇3万元。如果销售不出而积压,则需要浪费保养费1万元/t,问应组织多少货源,才能使得平均收益最大?解:,则设随机变量表示平均收益,货源为s吨,由题意,要使取得最大值,则由二次函数的极值情况知当时,最大。12游客从电视塔的底层乘电梯到顶层
4、观光,电梯于每个整点后的第6分钟,第24分钟,第42分钟从底层上行。假设某游客在上午之间到达电视塔底层等候电梯处,到达的时刻是8点后的第分钟,且在区间上服从均匀分布。求该游客等候电梯的时间的数学期望。解:等候时间与到达时刻的关系有:所以13设随机变量相互独立,并且服从同一分布,数学期望,方差求这些随机变量的算术平均值的数学期望与方差。14计算泊松分布的三阶原点矩及三阶中心矩。解:三阶原点矩为:15设是随机变量,证明的充要条件是与不相关。所以与不相关;另一方面,若与不相关,则16设二维随机变量的概率密度为求并问
5、与是否相关,是否独立?为什么?,所以但与不独立,因为二者的联合密度不等于边缘密度的乘积。17设二维随机变量的概率密度为求(1)数学期望。(2)方差(3)协方差及相关系数解:18已知随机变量相互独立,且设求(1)数学期望(2)方差(3)19已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在7300,标准差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在之间的概率。解:设随机变量表示白细胞数,则20设随机变量服从幂-指分布,其概率密度为:利用切比雪夫不等式证明:令,由此得到积分的递推式:又所以
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